微分積分学準備例

$f (x) = \frac{2 x (x + 5)}{3 (x + 5)}$

ステップ 1

式 $\frac{2 x (x + 5)}{3 (x + 5)}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 5$

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 2$

$m = 1$

ステップ 5

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 6.1

式を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$2 x$ を $2 x^{2} + 10 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1.1

$2 x$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x) + 10 x}{3 x + 15}$

ステップ 6.1.1.2

$2 x$ を $10 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x) + 2 x (5)}{3 x + 15}$

ステップ 6.1.1.3

$2 x$ を $2 x (x) + 2 x (5)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x + 5)}{3 x + 15}$

$\frac{2 x (x + 5)}{3 x + 15}$

ステップ 6.1.2

$3$ を $3 x + 15$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.2.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x + 5)}{3 (x) + 15}$

ステップ 6.1.2.2

$3$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x + 5)}{3 x + 3 \cdot 5}$

ステップ 6.1.2.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot 5$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x + 5)}{3 (x + 5)}$

$\frac{2 x (x + 5)}{3 (x + 5)}$

ステップ 6.1.3

$x + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x (x + 5)}{3 (x + 5)}$

ステップ 6.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2 x}{3}$

$\frac{2 x}{3}$

$\frac{2 x}{3}$

ステップ 6.2

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$3$

$2 x$

+

$0$

ステップ 6.3

被除数 $2 x$ の最高次項を除数 $3$ の最高次項で割ります。

			$\frac{2 x}{3}$
	$3$		$2 x$	+	$0$

ステップ 6.4

新しい商の項に除数を掛けます。

			$\frac{2 x}{3}$
	$3$		$2 x$	+	$0$
		+	$2 x$

ステップ 6.5

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x$ の符号をすべて変更します。

			$\frac{2 x}{3}$
	$3$		$2 x$	+	$0$
		-	$2 x$

ステップ 6.6

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			$\frac{2 x}{3}$
	$3$		$2 x$	+	$0$
		-	$2 x$
			$0$

ステップ 6.7

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			$\frac{2 x}{3}$
	$3$		$2 x$	+	$0$
		-	$2 x$
			$0$	+	$0$

ステップ 6.8

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$\frac{2 x}{3}$

ステップ 6.9

多項式の割り算から多項式の部分がないので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

ステップ 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$