微分積分学準備例

$f (x) = x \sqrt{x^{2} - 1}$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = x \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$f (x) = x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2

$f (- x)$ を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x)$ 内の $x$ の出現回数をすべて $- x$ に代入して $f (- x)$ を求めます。

$f (- x) = (- x) \sqrt{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$f (- x) = - x \sqrt{(- x + 1) (- x - 1)}$

ステップ 3

$f (- x) = f (x)$ ならば関数は偶関数です。

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ステップ 3.1

$f (- x) = f (x)$ ならば確認します。

ステップ 3.2

$- x \sqrt{(- x + 1) (- x - 1)} = x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ なので、関数は偶関数です。

関数は偶関数です。

ステップ 4

微分積分学準備 例