微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt[4]{x} + 6$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt[4]{y} + 6$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\sqrt[4]{y} + 6 = x$ として書き換えます。

$\sqrt[4]{y} + 6 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$\sqrt[4]{y} = x - 6$

ステップ 3.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $4$ 乗します。

${\sqrt[4]{y}}^{4} = {(x - 6)}^{4}$

ステップ 3.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{y}$ を $y^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(x - 6)}^{4}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x - 6)}^{4}$

ステップ 3.4.2.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x - 6)}^{4}$

ステップ 3.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(x - 6)}^{4}$

ステップ 3.4.2.1.2

簡約します。

$y = {(x - 6)}^{4}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

${(x - 6)}^{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

二項定理を利用します。

$y = x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 6 + 6 x^{2} {(- 6)}^{2} + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

ステップ 3.4.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.2.1

$- 6$ に $4$ をかけます。

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 6 x^{2} {(- 6)}^{2} + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

ステップ 3.4.3.1.2.2

$- 6$ を $2$ 乗します。

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 36 + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

ステップ 3.4.3.1.2.3

$36$ に $6$ をかけます。

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

ステップ 3.4.3.1.2.4

$- 6$ を $3$ 乗します。

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} + 4 x \cdot - 216 + {(- 6)}^{4}$

ステップ 3.4.3.1.2.5

$- 216$ に $4$ をかけます。

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + {(- 6)}^{4}$

ステップ 3.4.3.1.2.6

$- 6$ を $4$ 乗します。

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$ が $f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

二項定理を利用します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = {\sqrt[4]{x}}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

${\sqrt[4]{x}}^{4}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.1.3

$\frac{1}{4}$ と $4$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x^{\frac{4}{4}} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.2.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.1.5

簡約します。

ステップ 5.2.3.2.2

${\sqrt[4]{x}}^{3}$ を $\sqrt[4]{x^{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 4 \sqrt[4]{x^{3}} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.3

$6$ に $4$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.4

指数を足して $6$ に $6^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.4.1

$6^{2}$ を移動させます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6^{2} \cdot (6 {\sqrt[4]{x}}^{2}) + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.4.2

$6^{2}$ に $6$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.4.2.1

$6$ を $1$ 乗します。

ステップ 5.2.3.2.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6^{2 + 1} {\sqrt[4]{x}}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.4.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6^{3} {\sqrt[4]{x}}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.5

$6$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 {\sqrt[4]{x}}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.6

${\sqrt[4]{x}}^{2}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.6.3

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{2}{4}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.6.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.6.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{2 (1)}{4}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.6.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.6.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.6.4.2.2

共通因数を約分します。

ステップ 5.2.3.2.6.4.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{1}{2}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.6.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.7

$6$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 216 + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.8

$216$ に $4$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.2.9

$6$ を $4$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.3

二項定理を利用します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 ({\sqrt[4]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1

${\sqrt[4]{x}}^{3}$ を $\sqrt[4]{x^{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.4.2

${\sqrt[4]{x}}^{2}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.4.2.3

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2}{4}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.4.2.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.2.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 (1)}{4}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.4.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.2.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.4.2.4.2.2

共通因数を約分します。

ステップ 5.2.3.4.2.4.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.4.2.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 \sqrt{x} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.4.3

$6$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.4.4

$6$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 36 + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.4.5

$36$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 108 \sqrt[4]{x} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.4.6

$6$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 108 \sqrt[4]{x} + 216) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.5

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 24 (18 \sqrt{x}) - 24 (108 \sqrt[4]{x}) - 24 \cdot 216 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.6.1

$18$ に $- 24$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 24 (108 \sqrt[4]{x}) - 24 \cdot 216 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.6.2

$108$ に $- 24$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 24 \cdot 216 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.6.3

$- 24$ に $216$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.7

${(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2}$ を $(\sqrt[4]{x} + 6) (\sqrt[4]{x} + 6)$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ((\sqrt[4]{x} + 6) (\sqrt[4]{x} + 6)) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.8

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt[4]{x} + 6) (\sqrt[4]{x} + 6)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.8.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt[4]{x} (\sqrt[4]{x} + 6) + 6 (\sqrt[4]{x} + 6)) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.8.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 (\sqrt[4]{x} + 6)) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.8.3

分配則を当てはめます。

ステップ 5.2.3.9

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.9.1.1

$\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.9.1.1.1

$\sqrt[4]{x}$ を $1$ 乗します。

ステップ 5.2.3.9.1.1.2

$\sqrt[4]{x}$ を $1$ 乗します。

ステップ 5.2.3.9.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ({\sqrt[4]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.9.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ({\sqrt[4]{x}}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.9.1.2

${\sqrt[4]{x}}^{2}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.9.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.9.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.9.1.2.3

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{2}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.9.1.2.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.9.1.2.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{2 (1)}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.9.1.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.9.1.2.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.9.1.2.4.2.2

共通因数を約分します。

ステップ 5.2.3.9.1.2.4.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.9.1.2.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.9.1.3

$6$ を $\sqrt[4]{x}$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + 6 \cdot \sqrt[4]{x} + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.9.1.4

$6$ に $6$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \sqrt[4]{x} + 36) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.9.2

$6 \sqrt[4]{x}$ と $6 \sqrt[4]{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + 12 \sqrt[4]{x} + 36) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.10

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 216 (12 \sqrt[4]{x}) + 216 \cdot 36 - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.11.1

$12$ に $216$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 216 \cdot 36 - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

ステップ 5.2.3.11.2

$216$ に $36$ をかけます。

ステップ 5.2.3.12

分配則を当てはめます。

ステップ 5.2.3.13

$- 864$ に $6$ をかけます。

ステップ 5.2.4

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

$24 \sqrt[4]{x^{3}}$ から $24 \sqrt[4]{x^{3}}$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 0 + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

ステップ 5.2.4.1.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

ステップ 5.2.4.1.3

$- 2592 \sqrt[4]{x}$ と $2592 \sqrt[4]{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} + 0 - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

ステップ 5.2.4.1.4

$x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

ステップ 5.2.4.1.5

$864 \sqrt[4]{x}$ から $864 \sqrt[4]{x}$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 0 + 1296 - 432 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$

ステップ 5.2.4.1.6

$x + 216 \sqrt{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$

ステップ 5.2.4.2

$216 \sqrt{x}$ から $432 \sqrt{x}$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 1296 - 216 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$

ステップ 5.2.4.3

$x + 1296 - 216 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

$- 216 \sqrt{x}$ と $216 \sqrt{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 1296 + 0 - 5184 + 7776 - 5184 + 1296$

ステップ 5.2.4.3.2

$x + 1296$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 1296 - 5184 + 7776 - 5184 + 1296$

ステップ 5.2.4.4

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1

$1296$ から $5184$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x - 3888 + 7776 - 5184 + 1296$

ステップ 5.2.4.4.2

$- 3888$ と $7776$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 3888 - 5184 + 1296$

ステップ 5.2.4.4.3

$3888$ から $5184$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x - 1296 + 1296$

ステップ 5.2.4.5

$x - 1296 + 1296$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.5.1

$- 1296$ と $1296$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 0$

ステップ 5.2.4.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296)$ の値を求めます。

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296} + 6$

ステップ 5.3.3

括弧を削除します。

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296} + 6$

ステップ 5.3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

各項を2項式の定理の公式の項と一致させます。

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{x^{4} - 4 \cdot (6 x^{3}) + 6 \cdot (6^{2} x^{2}) - 4 \cdot (6^{3} x) + 6^{4}} + 6$

ステップ 5.3.4.2

2項式の定理を利用して $x^{4} - 4 \cdot 6 x^{3} + 6 \cdot 6^{2} x^{2} - 4 \cdot 6^{3} x + 6^{4}$ を因数分解します。

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{{(6 - x)}^{4}} + 6$

ステップ 5.3.4.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = 6 - x + 6$

ステップ 5.3.5

$6$ と $6$ をたし算します。

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = - x + 12$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$ は $f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例