微分積分学準備例

$(3 - 2 x + 2 x^{2}) - (4 x - 5 + 3 x^{2})$

ステップ 1

$(3 - 2 x + 2 x^{2}) - (4 x - 5 + 3 x^{2})$ を関数で書きます。

$f (x) = (3 - 2 x + 2 x^{2}) - (4 x - 5 + 3 x^{2})$

ステップ 2

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 3

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = (3 - 2 (x + h) + 2 {(x + h)}^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 {(x + h)}^{2} - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

ステップ 3.1.2.1.2

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 ((x + h) (x + h)) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

ステップ 3.1.2.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x (x + h) + h (x + h)) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

ステップ 3.1.2.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

ステップ 3.1.2.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

ステップ 3.1.2.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

ステップ 3.1.2.1.4.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

ステップ 3.1.2.1.4.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.4.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

ステップ 3.1.2.1.4.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

ステップ 3.1.2.1.5

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

ステップ 3.1.2.1.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

ステップ 3.1.2.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.7.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

ステップ 3.1.2.1.7.2

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 ((x + h) (x + h)))$

ステップ 3.1.2.1.7.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.7.3.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x (x + h) + h (x + h)))$

ステップ 3.1.2.1.7.3.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)))$

ステップ 3.1.2.1.7.3.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))$

ステップ 3.1.2.1.7.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.7.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.7.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h))$

ステップ 3.1.2.1.7.4.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}))$

ステップ 3.1.2.1.7.4.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.7.4.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}))$

ステップ 3.1.2.1.7.4.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}))$

ステップ 3.1.2.1.7.5

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2})$

ステップ 3.1.2.1.7.6

$2$ に $3$ をかけます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2})$

ステップ 3.1.2.1.8

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x) - (4 h) + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

ステップ 3.1.2.1.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.9.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - (4 h) + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

ステップ 3.1.2.1.9.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

ステップ 3.1.2.1.9.3

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

ステップ 3.1.2.1.9.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - (6 h x) - (3 h^{2})$

ステップ 3.1.2.1.9.5

$6$ に $- 1$ をかけます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - 6 (h x) - (3 h^{2})$

ステップ 3.1.2.1.9.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - 6 (h x) - 3 h^{2}$

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

ステップ 3.1.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$3$ と $5$ をたし算します。

$f (x + h) = - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 8 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

ステップ 3.1.2.2.2

$- 2 x$ から $4 x$ を引きます。

$f (x + h) = - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 6 x - 4 h + 8 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

ステップ 3.1.2.2.3

$- 2 h$ から $4 h$ を引きます。

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 6 x - 6 h + 8 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

ステップ 3.1.2.2.4

$2 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$f (x + h) = - x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 6 x - 6 h + 8 - 6 h x - 3 h^{2}$

ステップ 3.1.2.2.5

$4 h x$ から $6 h x$ を引きます。

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x + 2 h^{2} - 6 x - 6 h + 8 - 3 h^{2}$

ステップ 3.1.2.2.6

$2 h^{2}$ から $3 h^{2}$ を引きます。

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 x - 6 h + 8$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $- x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 x - 6 h + 8$ です。

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 x - 6 h + 8$

ステップ 3.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 6 x$ を移動させます。

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 h - 6 x + 8$

ステップ 3.2.2

$- x^{2}$ を移動させます。

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

ステップ 3.2.3

$- 2 h x$ と $- h^{2}$ を並べ替えます。

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

ステップ 3.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

$f (x) = - x^{2} - 6 x + 8$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

$f (x) = - x^{2} - 6 x + 8$

ステップ 4

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 - (- x^{2} - 6 x + 8)}{h}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 - - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 8}{h}$

ステップ 5.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$- - x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + 1 x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 8}{h}$

ステップ 5.1.2.1.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 8}{h}$

ステップ 5.1.2.2

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + x^{2} + 6 x - 1 \cdot 8}{h}$

ステップ 5.1.2.3

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + x^{2} + 6 x - 8}{h}$

ステップ 5.1.3

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h - 6 x + 8 + 0 + 6 x - 8}{h}$

ステップ 5.1.4

$- h^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h - 6 x + 8 + 6 x - 8}{h}$

ステップ 5.1.5

$- 6 x$ と $6 x$ をたし算します。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h + 0 + 8 - 8}{h}$

ステップ 5.1.6

$- h^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h + 8 - 8}{h}$

ステップ 5.1.7

$8$ から $8$ を引きます。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h + 0}{h}$

ステップ 5.1.8

$- h^{2} - 2 h x - 6 h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h}{h}$

ステップ 5.1.9

$h$ を $- h^{2} - 2 h x - 6 h$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.9.1

$h$ を $- h^{2}$ で因数分解します。

$\frac{h (- h) - 2 h x - 6 h}{h}$

ステップ 5.1.9.2

$h$ を $- 2 h x$ で因数分解します。

$\frac{h (- h) + h (- 2 x) - 6 h}{h}$

ステップ 5.1.9.3

$h$ を $- 6 h$ で因数分解します。

$\frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot - 6}{h}$

ステップ 5.1.9.4

$h$ を $h (- h) + h (- 2 x)$ で因数分解します。

$\frac{h (- h - 2 x) + h \cdot - 6}{h}$

ステップ 5.1.9.5

$h$ を $h (- h - 2 x) + h \cdot - 6$ で因数分解します。

$\frac{h (- h - 2 x - 6)}{h}$

ステップ 5.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{h (- h - 2 x - 6)}{h}$

ステップ 5.2.1.2

$- h - 2 x - 6$ を $1$ で割ります。

$- h - 2 x - 6$

ステップ 5.2.2

$- h$ と $- 2 x$ を並べ替えます。

$- 2 x - h - 6$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例