微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{\frac{x + 8}{(x - 4) (x + 6)}}$

ステップ 1

$\sqrt{\frac{x + 8}{(x - 4) (x + 6)}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{x + 8}{(x - 4) (x + 6)} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + 8 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x = - 8$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.4

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 2.5

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 8$

$x = 4$

$x = - 6$

ステップ 2.6

解をまとめます。

$x = - 8, 4, - 6$

ステップ 2.7

$\frac{x + 8}{(x - 4) (x + 6)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.7.1

$\frac{x + 8}{(x - 4) (x + 6)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(x - 4) (x + 6) = 0$

ステップ 2.7.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.7.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

ステップ 2.7.2.2

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.7.2.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.7.2.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.7.2.3

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.7.2.3.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 2.7.2.3.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 2.7.2.4

最終解は $(x - 4) (x + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 6$

ステップ 2.7.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 2.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 8$

$- 8 < x < - 6$

$- 6 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 2.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.9.1

区間 $x < - 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.1.1

区間 $x < - 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 2.9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

$\frac{(- 10) + 8}{((- 10) - 4) ((- 10) + 6)} \geq 0$

ステップ 2.9.1.3

左辺 $- 0.03571428$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.9.2

区間 $- 8 < x < - 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.2.1

区間 $- 8 < x < - 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 7$

ステップ 2.9.2.2

$x$ を元の不等式の $- 7$ で置き換えます。

$\frac{(- 7) + 8}{((- 7) - 4) ((- 7) + 6)} \geq 0$

ステップ 2.9.2.3

左辺 $0.\overline{09}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.9.3

区間 $- 6 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.3.1

区間 $- 6 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.9.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) + 8}{((0) - 4) ((0) + 6)} \geq 0$

ステップ 2.9.3.3

左辺 $- 0.\overline{3}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.9.4

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.4.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 2.9.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{(6) + 8}{((6) - 4) ((6) + 6)} \geq 0$

ステップ 2.9.4.3

左辺 $0.58\overline{3}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.9.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < - 6$ 真

$- 6 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < - 6$ 真

$- 6 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

ステップ 2.10

解はすべての真の区間からなります。

$- 8 \leq x < - 6$ または $x > 4$

ステップ 3

$\frac{x + 8}{(x - 4) (x + 6)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(x - 4) (x + 6) = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

ステップ 4.2

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 4.3

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.3.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 4.3.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 4.4

最終解は $(x - 4) (x + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 6$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 8, - 6) \cup (4, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | - 8 \leq x < - 6, x > 4}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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