微分積分学準備例

$f (x) = \frac{- x^{2}}{x^{4} - 25}$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = \frac{- x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 25}$

ステップ 1.1.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = \frac{- x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 5^{2}}$

ステップ 1.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 5$ です。

$f (x) = \frac{- x^{2}}{(x^{2} + 5) (x^{2} - 5)}$

ステップ 1.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (x) = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) (x^{2} - 5)}$

ステップ 2

$f (- x)$ を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x)$ 内の $x$ の出現回数をすべて $- x$ に代入して $f (- x)$ を求めます。

$f (- x) = - \frac{{(- x)}^{2}}{({(- x)}^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

ステップ 2.2

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = - \frac{{(- 1)}^{2} x^{2}}{({(- x)}^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

ステップ 2.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- x) = - \frac{1 x^{2}}{({(- x)}^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

ステップ 2.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{({(- x)}^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

ステップ 2.3

分母を簡約します。

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ステップ 2.3.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{({(- 1)}^{2} x^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

ステップ 2.3.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{(1 x^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

ステップ 2.3.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

ステップ 2.3.4

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) ({(- 1)}^{2} x^{2} - 5)}$

ステップ 2.3.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) (1 x^{2} - 5)}$

ステップ 2.3.6

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) (x^{2} - 5)}$

ステップ 3

$f (- x) = f (x)$ ならば関数は偶関数です。

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ステップ 3.1

$f (- x) = f (x)$ ならば確認します。

ステップ 3.2

$- \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) (x^{2} - 5)} = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) (x^{2} - 5)}$ なので、関数は偶関数です。

関数は偶関数です。

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例