微分積分学準備例

$y^{2} - 5 x + 12 y = - 16$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $x$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$- 5 x + 12 y = - 16 - y^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺から $12 y$ を引きます。

$- 5 x = - 16 - y^{2} - 12 y$

ステップ 1.1.2

$- 5 x = - 16 - y^{2} - 12 y$ の各項を $- 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$- 5 x = - 16 - y^{2} - 12 y$ の各項を $- 5$ で割ります。

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 16}{- 5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$- 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 16}{- 5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 16}{- 5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{16}{5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{16}{5} + \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{16}{5} + \frac{y^{2}}{5} + \frac{12 y}{5}$

ステップ 1.2

$\frac{16}{5} + \frac{y^{2}}{5} + \frac{12 y}{5}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

$\frac{16}{5}$ を移動させます。

$\frac{y^{2}}{5} + \frac{12 y}{5} + \frac{16}{5}$

ステップ 1.2.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{5}$

$b = \frac{12}{5}$

$c = \frac{16}{5}$

ステップ 1.2.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{12}{5}}{2 (\frac{1}{5})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

ステップ 1.2.4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (6)}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 6}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

ステップ 1.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{5}}$

ステップ 1.2.4.2.3

$\frac{6}{5}$ に $\frac{1}{\frac{1}{5}}$ をかけます。

$d = \frac{6}{5 (\frac{1}{5})}$

ステップ 1.2.4.2.4

$5$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$d = \frac{6}{\frac{5}{5}}$

ステップ 1.2.4.2.5

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.5.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{6}{\frac{5}{5}}$

ステップ 1.2.4.2.5.2

式を書き換えます。

$d = \frac{6}{1}$

ステップ 1.2.4.2.6

$6$ を $1$ で割ります。

$d = 6$

ステップ 1.2.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{16}{5} - \frac{{(\frac{12}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{5})}$

ステップ 1.2.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.1.1.1

積の法則を $\frac{12}{5}$ に当てはめます。

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{12^{2}}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{5})}$

ステップ 1.2.5.2.1.1.2

$12$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{144}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{5})}$

ステップ 1.2.5.2.1.1.3

$5$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{144}{25}}{4 (\frac{1}{5})}$

ステップ 1.2.5.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{144}{25}}{\frac{4}{5}}$

ステップ 1.2.5.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = \frac{16}{5} - (\frac{144}{25} \cdot \frac{5}{4})$

ステップ 1.2.5.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.2.1.4.1

$4$ を $144$ で因数分解します。

$e = \frac{16}{5} - (\frac{4 (36)}{25} \cdot \frac{5}{4})$

ステップ 1.2.5.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{16}{5} - (\frac{4 \cdot 36}{25} \cdot \frac{5}{4})$

ステップ 1.2.5.2.1.4.3

式を書き換えます。

$e = \frac{16}{5} - (\frac{36}{25} \cdot 5)$

ステップ 1.2.5.2.1.5

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.2.1.5.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$e = \frac{16}{5} - (\frac{36}{5 (5)} \cdot 5)$

ステップ 1.2.5.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{16}{5} - (\frac{36}{5 \cdot 5} \cdot 5)$

ステップ 1.2.5.2.1.5.3

式を書き換えます。

$e = \frac{16}{5} - \frac{36}{5}$

ステップ 1.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{16 - 36}{5}$

ステップ 1.2.5.2.3

$16$ から $36$ を引きます。

$e = \frac{- 20}{5}$

ステップ 1.2.5.2.4

$- 20$ を $5$ で割ります。

$e = - 4$

ステップ 1.2.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{5} {(y + 6)}^{2} - 4$ に代入します。

$\frac{1}{5} {(y + 6)}^{2} - 4$

ステップ 1.3

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = \frac{1}{5} \cdot {(y + 6)}^{2} - 4$

ステップ 2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{5}$

$h = - 4$

$k = - 6$

ステップ 3

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 4, - 6)$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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