微分積分学準備例

$r (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 2, x = 2$

ステップ 2

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $- 2$ 、 $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ を右から $x$ $\to$ $- 2$ としているので、 $x = - 2$ は垂直漸近線です。

$x = - 2$

ステップ 3

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ を左から $x$ $\to$ $2$ 、 $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $2$ としているので、 $x = 2$ は垂直漸近線です。

$x = 2$

ステップ 4

すべての垂直漸近線のリスト：

$x = - 2, 2$

ステップ 5

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 6

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 2$

ステップ 7

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 8

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 8.1

式を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$x^{2}$ を $x^{3} + 3 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 8.1.1.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$

ステップ 8.1.1.2

$x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}{x^{2} - 4}$

ステップ 8.1.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x + 3)}{x^{2} - 4}$

ステップ 8.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.1.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} (x + 3)}{x^{2} - 2^{2}}$

ステップ 8.1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{x^{2} (x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 8.2

$x^{2} (x + 3)$ を展開します。

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ステップ 8.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 8.2.2

$x^{2}$ と $3$ を並べ替えます。

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 8.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 8.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2 + 1} + 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 8.2.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 8.3

$(x + 2) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 8.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x (x - 2) + 2 (x - 2)}$

ステップ 8.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}$

ステップ 8.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}$

ステップ 8.3.4

$x$ と $- 2$ を並べ替えます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

ステップ 8.3.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

ステップ 8.3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

ステップ 8.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{1 + 1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

ステップ 8.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

ステップ 8.3.9

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2 x - 4}$

ステップ 8.3.10

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} + 0 - 4}$

ステップ 8.3.11

$0$ から $4$ を引きます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$

ステップ 8.4

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 8.5

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 8.6

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

ステップ 8.7

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 0 - 4 x$ の符号をすべて変更します。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

ステップ 8.8

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

ステップ 8.9

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

$0$

ステップ 8.10

被除数 $3 x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

$0$

ステップ 8.11

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$12$

ステップ 8.12

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{2} + 0 - 12$ の符号をすべて変更します。

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$12$

ステップ 8.13

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$12$

$4 x$

$12$

ステップ 8.14

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x + 3 + \frac{4 x + 12}{x^{2} - 4}$

ステップ 8.15

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = x + 3$

ステップ 9

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - 2, 2$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = x + 3$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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