代数学準備例

$\frac{3 x^{2} + 18 x y + 27 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \div \frac{8 x + 24 y}{x + y}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{3 x^{2} + 18 x y + 27 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$3$ を $3 x^{2} + 18 x y + 27 y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2}) + 18 x y + 27 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 2.1.2

$3$ を $18 x y$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (6 x y) + 27 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 2.1.3

$3$ を $27 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (6 x y) + 3 (9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 2.1.4

$3$ を $3 (x^{2}) + 3 (6 x y)$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2} + 6 x y) + 3 (9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 2.1.5

$3$ を $3 (x^{2} + 6 x y) + 3 (9 y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$9 y^{2}$ を ${(3 y)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 (x^{2} + 6 x y + {(3 y)}^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x y = 2 \cdot x \cdot (3 y)$

ステップ 2.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot (3 y) + {(3 y)}^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 2.2.4

$a = x$ と $b = 3 y$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 1 \cdot 5 = 5$ で和が $b = 6$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.1

項を並べ替えます。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 5 y^{2} + 6 x y} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 3.1.2

$5 y^{2}$ と $6 x y$ を並べ替えます。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 3.1.3

$6$ を $6 x y$ で因数分解します。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 3.1.4

$6$ を $1$ プラス $5$ に書き換える

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + (1 + 5) (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 3.1.5

分配則を当てはめます。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 1 (x y) + 5 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 3.1.6

$x y$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + x y + 5 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 3.1.7

括弧を移動させます。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + x y + 5 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x^{2} + x y) + 5 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x (x + y) + 5 y (x + y)} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 3.3

最大公約数 $x + y$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 4

$x + y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x + 5 y} \cdot \frac{1}{8 x + 24 y}$

ステップ 5

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x + 5 y}$ に $\frac{1}{8 x + 24 y}$ をかけます。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (8 x + 24 y)}$

ステップ 6

$8$ を $8 x + 24 y$ で因数分解します。

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ステップ 6.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (8 (x) + 24 y)}$

ステップ 6.2

$8$ を $24 y$ で因数分解します。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (8 (x) + 8 (3 y))}$

ステップ 6.3

$8$ を $8 (x) + 8 (3 y)$ で因数分解します。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (8 (x + 3 y))}$

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) \cdot 8 (x + 3 y)}$

ステップ 7

${(x + 3 y)}^{2}$ と $x + 3 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

$x + 3 y$ を $3 {(x + 3 y)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x + 3 y) (3 (x + 3 y))}{(x + 5 y) \cdot 8 (x + 3 y)}$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$x + 3 y$ を $(x + 5 y) \cdot 8 (x + 3 y)$ で因数分解します。

$\frac{(x + 3 y) (3 (x + 3 y))}{(x + 3 y) ((x + 5 y) \cdot 8)}$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 3 y) (3 (x + 3 y))}{(x + 3 y) ((x + 5 y) \cdot 8)}$

ステップ 7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 (x + 3 y)}{(x + 5 y) \cdot 8}$

ステップ 8

$8$ を $x + 5 y$ の左に移動させます。

$\frac{3 (x + 3 y)}{8 (x + 5 y)}$

ステップ 9

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 3 (3 y)}{8 (x + 5 y)}$

ステップ 10

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 x + 9 y}{8 (x + 5 y)}$

ステップ 11

分数 $\frac{3 x + 9 y}{8 (x + 5 y)}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{3 x}{8 (x + 5 y)} + \frac{9 y}{8 (x + 5 y)}$

代数学準備 例

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