代数学準備例

$\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}}$

ステップ 1

$\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}}$ に $\frac{6 - 2 \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{6 - 2 \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5}}$

ステップ 2

$\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}}$ に $\frac{6 - 2 \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}{(6 + 2 \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}$

ステップ 3

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}{36 - 12 \sqrt{5} + 12 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}{16}$

ステップ 5

$6 - 2 \sqrt{5}$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$2$ を $(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})$ で因数分解します。

$\frac{2 ((2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}))}{16}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{2 ((2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}))}{2 (8)}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 ((2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}))}{2 \cdot 8}$

ステップ 5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}{8}$

ステップ 6

分配法則（FOIL法）を使って $(2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})$ を展開します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (3 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (3 - \sqrt{5})}{8}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (3 - \sqrt{5})}{8}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

ステップ 7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 + 2 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

ステップ 7.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

ステップ 7.1.3

$3$ を $\sqrt{5}$ の左に移動させます。

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

ステップ 7.1.4

$\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ を掛けます。

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ステップ 7.1.4.1

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{8}$

ステップ 7.1.4.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{8}$

ステップ 7.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{8}$

ステップ 7.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{8}$

ステップ 7.1.5

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 7.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

ステップ 7.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

ステップ 7.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{8}$

ステップ 7.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{8}$

ステップ 7.1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{1}}{8}$

ステップ 7.1.5.5

指数を求めます。

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{8}$

ステップ 7.1.6

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5}{8}$

ステップ 7.2

$6$ から $5$ を引きます。

$\frac{1 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5}}{8}$

ステップ 7.3

$- 2 \sqrt{5}$ と $3 \sqrt{5}$ をたし算します。

$\frac{1 + \sqrt{5}}{8}$

ステップ 8

分数 $\frac{1 + \sqrt{5}}{8}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8}$

10進法形式：

$0.40450849 \dots$

代数学準備 例

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