代数学準備例

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \div \frac{x^{2} + 6 x + 5}{2 x^{2} - 7 x + 3}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} + 3 (x) + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

ステップ 2.1.2

$3$ を $1$ プラス $2$ に書き換える

$\frac{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

ステップ 2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + x + 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

ステップ 2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

ステップ 2.3

最大公約数 $2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $2$ です。

$- 3, 5$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

ステップ 4

群による因数分解。

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ステップ 4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ で和が $b = - 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.1.1

$- 7$ を $- 7 x$ で因数分解します。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 (x) + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

ステップ 4.1.2

$- 7$ を $- 1$ プラス $- 6$ に書き換える

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} + (- 1 - 6) x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 1 x - 6 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

ステップ 4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x^{2} - 1 x) - 6 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

ステップ 4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}{x^{2} + 6 x + 5}$

ステップ 4.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{x^{2} + 6 x + 5}$

ステップ 5

たすき掛けを利用して $x^{2} + 6 x + 5$ を因数分解します。

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ステップ 5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $5$ で、その和が $6$ です。

$1, 5$

ステップ 5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x + 1) (x + 5)}$

ステップ 6

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$x + 1$ を $(2 x + 1) (x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) (2 x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x + 1) (x + 5)}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) (2 x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x + 1) (x + 5)}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x + 1}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{x + 5}$

ステップ 7

$x - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

$x - 3$ を $(2 x - 1) (x - 3)$ で因数分解します。

$\frac{2 x + 1}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 3) (2 x - 1)}{x + 5}$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 x + 1}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 3) (2 x - 1)}{x + 5}$

ステップ 7.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x + 1}{x + 5} \cdot \frac{2 x - 1}{x + 5}$

ステップ 8

$\frac{2 x + 1}{x + 5}$ に $\frac{2 x - 1}{x + 5}$ をかけます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(x + 5) (x + 5)}$

ステップ 9

$x + 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{1} (x + 5)}$

ステップ 10

$x + 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1}}$

ステップ 11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{1 + 1}}$

ステップ 12

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 13

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 1) (2 x - 1)$ を展開します。

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ステップ 13.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 13.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 13.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 14

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 14.1

$2 x \cdot - 1$ と $1 (2 x)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{2 x (2 x) - 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 14.2

$- 1 \cdot 2 x$ と $1 \cdot 2 x$ をたし算します。

$\frac{2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 14.3

$2 x (2 x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 15

各項を簡約します。

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ステップ 15.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 15.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 15.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 15.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 15.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 15.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 16

分数 $\frac{4 x^{2} - 1}{{(x + 5)}^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{4 x^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{- 1}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 17

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4 x^{2}}{{(x + 5)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$

代数学準備 例

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