代数学準備例

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

ステップ 2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

ステップ 2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 3) (x + 1)$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x + 1) - 3 (x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.1.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x - 3 x - 3}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 5

分数 $\frac{x^{2} - 2 x - 3}{{(x - 2)}^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 6

分数 $\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 2)}^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

代数学準備 例

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