代数学準備例

$\frac{x^{2} - 25}{8 x - 8} \div \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x^{2} + 4 x - 5}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{x^{2} - 25}{8 x - 8} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{8 x - 8} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 x - 8} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

ステップ 3

$8$ を $8 x - 8$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x) - 8} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

ステップ 3.2

$8$ を $- 8$ で因数分解します。

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x) + 8 (- 1)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

ステップ 3.3

$8$ を $8 (x) + 8 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

ステップ 4

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 5$ を因数分解します。

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ステップ 4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 5$ で、その和が $4$ です。

$- 1, 5$

ステップ 4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} + 10 x + 25}$

ステップ 5

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 5.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

ステップ 5.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

ステップ 5.3

多項式を書き換えます。

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

ステップ 5.4

$a = x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 5)}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 6

まとめる。

$\frac{(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x + 5))}{8 (x - 1) {(x + 5)}^{2}}$

ステップ 7

$x + 5$ と ${(x + 5)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

$x + 5$ を $(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x + 5))$ で因数分解します。

$\frac{(x + 5) ((x - 5) ((x - 1) (x + 5)))}{8 (x - 1) {(x + 5)}^{2}}$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$x + 5$ を $8 (x - 1) {(x + 5)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x + 5) ((x - 5) ((x - 1) (x + 5)))}{(x + 5) (8 (x - 1) (x + 5))}$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 5) ((x - 5) ((x - 1) (x + 5)))}{(x + 5) (8 (x - 1) (x + 5))}$

ステップ 7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(x - 5) ((x - 1) (x + 5))}{8 (x - 1) (x + 5)}$

ステップ 8

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 5) ((x - 1) (x + 5))}{8 (x - 1) (x + 5)}$

ステップ 8.2

式を書き換えます。

$\frac{(x - 5) (x + 5)}{8 (x + 5)}$

ステップ 9

$x + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 5) (x + 5)}{8 (x + 5)}$

ステップ 9.2

式を書き換えます。

$\frac{x - 5}{8}$

ステップ 10

分数 $\frac{x - 5}{8}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{x}{8} + \frac{- 5}{8}$

ステップ 11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x}{8} - \frac{5}{8}$

代数学準備 例

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