代数学準備例

$\frac{a^{2} - a - 20}{a^{2} - 25} \div \frac{a^{2} - 13 a + 36}{45 - 5 a}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{a^{2} - a - 20}{a^{2} - 25} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $a^{2} - a - 20$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 20$ で、その和が $- 1$ です。

$- 5, 4$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{a^{2} - 25} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

ステップ 3

分母を簡約します。

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ステップ 3.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{a^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

ステップ 3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = 5$ です。

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

ステップ 4

$a - 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

ステップ 5

$5$ を $45 - 5 a$ で因数分解します。

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ステップ 5.1

$5$ を $45$ で因数分解します。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9) - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

ステップ 5.2

$5$ を $- 5 a$ で因数分解します。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9) + 5 (- a)}{a^{2} - 13 a + 36}$

ステップ 5.3

$5$ を $5 (9) + 5 (- a)$ で因数分解します。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9 - a)}{a^{2} - 13 a + 36}$

ステップ 6

たすき掛けを利用して $a^{2} - 13 a + 36$ を因数分解します。

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ステップ 6.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $36$ で、その和が $- 13$ です。

$- 9, - 4$

ステップ 6.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9 - a)}{(a - 9) (a - 4)}$

ステップ 7

$9 - a$ と $a - 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

$9$ を $- 1 (- 9)$ に書き換えます。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9) - a)}{(a - 9) (a - 4)}$

ステップ 7.2

$- 1$ を $- a$ で因数分解します。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9) - (a))}{(a - 9) (a - 4)}$

ステップ 7.3

$- 1$ を $- 1 (- 9) - (a)$ で因数分解します。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9 + a))}{(a - 9) (a - 4)}$

ステップ 7.4

項を並べ替えます。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (a - 9))}{(a - 9) (a - 4)}$

ステップ 7.5

共通因数を約分します。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (a - 9))}{(a - 9) (a - 4)}$

ステップ 7.6

式を書き換えます。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 \cdot (- 1)}{a - 4}$

ステップ 8

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{- 5}{a - 4}$

ステップ 9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{a + 4}{a + 5} (- \frac{5}{a - 4})$

ステップ 10

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5}{a - 4}$

ステップ 11

$\frac{5}{a - 4}$ に $\frac{a + 4}{a + 5}$ をかけます。

$- \frac{5 (a + 4)}{(a - 4) (a + 5)}$

ステップ 12

分配則を当てはめます。

$- \frac{5 a + 5 \cdot 4}{(a - 4) (a + 5)}$

ステップ 13

$5$ に $4$ をかけます。

$- \frac{5 a + 20}{(a - 4) (a + 5)}$

ステップ 14

分数 $\frac{5 a + 20}{(a - 4) (a + 5)}$ を2つの分数に分割します。

$- (\frac{5 a}{(a - 4) (a + 5)} + \frac{20}{(a - 4) (a + 5)})$

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