代数学準備例

$\frac{x^{2} - 6 x - 27}{3 x^{2} - 243} \div \frac{x^{2} + 12 x + 27}{x^{2} + 18 x + 81}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{x^{2} - 6 x - 27}{3 x^{2} - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x - 27$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 27$ で、その和が $- 6$ です。

$- 9, 3$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 x^{2} - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

ステップ 3

分母を簡約します。

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ステップ 3.1

$3$ を $3 x^{2} - 243$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2}) - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

ステップ 3.1.2

$3$ を $- 243$ で因数分解します。

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 x^{2} + 3 \cdot - 81} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

ステップ 3.1.3

$3$ を $3 x^{2} + 3 \cdot - 81$ で因数分解します。

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2} - 81)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

ステップ 3.2

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2} - 9^{2})} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

ステップ 3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 9$ です。

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x + 9) (x - 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

ステップ 4

$x - 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x + 9) (x - 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

ステップ 5

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 5.1

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 9^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

ステップ 5.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

ステップ 5.3

多項式を書き換えます。

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

ステップ 5.4

$a = x$ と $b = 9$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

ステップ 6

たすき掛けを利用して $x^{2} + 12 x + 27$ を因数分解します。

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ステップ 6.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $27$ で、その和が $12$ です。

$3, 9$

ステップ 6.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 3) (x + 9)}$

ステップ 7

$x + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 3) (x + 9)}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x + 9}$

ステップ 8

$x + 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1

$x + 9$ を $3 (x + 9)$ で因数分解します。

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x + 9}$

ステップ 8.2

$x + 9$ を ${(x + 9)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 9) (x + 9)}{x + 9}$

ステップ 8.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 9) (x + 9)}{x + 9}$

ステップ 8.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x + 9}{x + 9}$

ステップ 9

$\frac{1}{3}$ に $\frac{x + 9}{x + 9}$ をかけます。

$\frac{x + 9}{3 (x + 9)}$

ステップ 10

$x + 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1

共通因数を約分します。

$\frac{x + 9}{3 (x + 9)}$

ステップ 10.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{3}$

10進法形式：

$0.\overline{3}$

代数学準備 例

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