代数学準備例

$\frac{x^{2} - 49}{x^{2} - 12 x + 36} \div \frac{4 x - 28}{x^{2} - 5 x - 6}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{x^{2} - 49}{x^{2} - 12 x + 36} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 6}{4 x - 28}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 7^{2}}{x^{2} - 12 x + 36} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 6}{4 x - 28}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 7$ です。

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} - 12 x + 36} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 6}{4 x - 28}$

ステップ 3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} - 12 x + 6^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 6}{4 x - 28}$

ステップ 3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

ステップ 3.3

多項式を書き換えます。

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 6}{4 x - 28}$

ステップ 3.4

$a = x$ と $b = 6$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 6}{4 x - 28}$

ステップ 4

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 5$ です。

$- 6, 1$

ステップ 4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{(x - 6) (x + 1)}{4 x - 28}$

ステップ 5

$4$ を $4 x - 28$ で因数分解します。

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ステップ 5.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{(x - 6) (x + 1)}{4 (x) - 28}$

ステップ 5.2

$4$ を $- 28$ で因数分解します。

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{(x - 6) (x + 1)}{4 x + 4 \cdot - 7}$

ステップ 5.3

$4$ を $4 x + 4 \cdot - 7$ で因数分解します。

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{(x - 6) (x + 1)}{4 (x - 7)}$

ステップ 6

まとめる。

$\frac{(x + 7) (x - 7) ((x - 6) (x + 1))}{{(x - 6)}^{2} (4 (x - 7))}$

ステップ 7

$x - 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 7) (x - 7) ((x - 6) (x + 1))}{{(x - 6)}^{2} (4 (x - 7))}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$\frac{(x + 7) ((x - 6) (x + 1))}{{(x - 6)}^{2} \cdot (4)}$

ステップ 8

$x - 6$ と ${(x - 6)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1

$x - 6$ を $(x + 7) ((x - 6) (x + 1))$ で因数分解します。

$\frac{(x - 6) ((x + 7) (x + 1))}{{(x - 6)}^{2} \cdot (4)}$

ステップ 8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$x - 6$ を ${(x - 6)}^{2} \cdot (4)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 6) ((x + 7) (x + 1))}{(x - 6) ((x - 6) \cdot 4)}$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 6) ((x + 7) (x + 1))}{(x - 6) ((x - 6) \cdot 4)}$

ステップ 8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(x + 7) (x + 1)}{(x - 6) \cdot 4}$

ステップ 9

$4$ を $x - 6$ の左に移動させます。

$\frac{(x + 7) (x + 1)}{4 (x - 6)}$

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