代数学準備例

$\frac{\frac{x^{4} - 16}{x^{3} + 27}}{\frac{x + 2}{2 x + 6}}$

ステップ 1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{x^{4} - 16}{x^{3} + 27} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 16}{x^{3} + 27} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

ステップ 2.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 4^{2}}{x^{3} + 27} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

ステップ 2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 4$ です。

$\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} - 4)}{x^{3} + 27} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2})}{x^{3} + 27} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

ステップ 2.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{x^{3} + 27} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

ステップ 3

分母を簡約します。

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ステップ 3.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{x^{3} + 3^{3}} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

ステップ 3.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2})} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2})} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

ステップ 3.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

ステップ 4

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

$x + 2$ を $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ で因数分解します。

$\frac{(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2))}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2))}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{2 x + 6}{x + 2}$

ステップ 4.3

式を書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)} (2 x + 6)$

ステップ 5

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}$ に $2 x + 6$ をかけます。

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2) (2 x + 6)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}$

ステップ 6

$2$ を $2 x + 6$ で因数分解します。

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ステップ 6.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2) (2 (x) + 6)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}$

ステップ 6.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2) (2 x + 2 \cdot 3)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}$

ステップ 6.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2) (2 (x + 3))}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}$

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2) \cdot 2 (x + 3)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}$

ステップ 7

$x + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2) \cdot 2 (x + 3)}{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 4) (x - 2) \cdot 2}{x^{2} - 3 x + 9}$

ステップ 8

$2$ を $(x^{2} + 4) (x - 2)$ の左に移動させます。

$\frac{2 (x^{2} + 4) (x - 2)}{x^{2} - 3 x + 9}$

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