代数学準備例

$\frac{\frac{x^{3} - 125}{x^{3} + 125}}{\frac{x^{2} - 25}{x^{2} \cdot (5 x) + 25}}$

ステップ 1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{x^{3} - 125}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

ステップ 2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$125$ を $5^{3}$ に書き換えます。

$\frac{x^{3} - 5^{3}}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 \cdot x + 5^{2})}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.3.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

ステップ 3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$125$ を $5^{3}$ に書き換えます。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{x^{3} + 5^{3}} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

ステップ 3.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - x \cdot 5 + 5^{2})} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 5^{2})} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

ステップ 3.3.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

$5$ を $x^{2} \cdot (5 x) + 25$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$5$ を $x^{2} \cdot (5 x)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2} \cdot (x)) + 25}{x^{2} - 25}$

ステップ 4.1.2

$5$ を $25$ で因数分解します。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2} \cdot (x)) + 5 \cdot 5}{x^{2} - 25}$

ステップ 4.1.3

$5$ を $5 (x^{2} \cdot (x)) + 5 \cdot 5$ で因数分解します。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2} \cdot (x) + 5)}{x^{2} - 25}$

ステップ 4.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 4.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2} \cdot x^{1} + 5)}{x^{2} - 25}$

ステップ 4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2 + 1} + 5)}{x^{2} - 25}$

ステップ 4.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{3} + 5)}{x^{2} - 25}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{3} + 5)}{x^{2} - 5^{2}}$

ステップ 5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{3} + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 6

まとめる。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) (5 (x^{3} + 5))}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) ((x + 5) (x - 5))}$

ステップ 7

$x - 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) (5 (x^{3} + 5))}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) ((x + 5) (x - 5))}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) (5 (x^{3} + 5))}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) (x + 5)}$

ステップ 8

分母を簡約します。

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ステップ 8.1

$x + 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) \cdot 5 (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{1} (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)}$

ステップ 8.2

$x + 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) \cdot 5 (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1} (x^{2} - 5 x + 25)}$

ステップ 8.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) \cdot 5 (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{1 + 1} (x^{2} - 5 x + 25)}$

ステップ 8.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) \cdot 5 (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{2} (x^{2} - 5 x + 25)}$

ステップ 9

$5$ を $x^{2} + 5 x + 25$ の左に移動させます。

$\frac{5 (x^{2} + 5 x + 25) (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{2} (x^{2} - 5 x + 25)}$

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