代数学準備例

$\frac{\frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 6 x + 9}}{\frac{1}{x + 5}}$

ステップ 1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 6 x + 9} (x + 5)$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 5$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 5$ で、その和が $4$ です。

$- 1, 5$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} - 6 x + 9} (x + 5)$

ステップ 3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} - 6 x + 3^{2}} (x + 5)$

ステップ 3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 3.3

多項式を書き換えます。

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} (x + 5)$

ステップ 3.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}} (x + 5)$

ステップ 4

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}}$ に $x + 5$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x + 5) (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

$x + 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x - 1) ({(x + 5)}^{1} (x + 5))}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.2

$x + 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x - 1) ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(x - 1) {(x + 5)}^{1 + 1}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 6

${(x + 5)}^{2}$ を $(x + 5) (x + 5)$ に書き換えます。

$\frac{(x - 1) ((x + 5) (x + 5))}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 7

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 5) (x + 5)$ を展開します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 1) (x (x + 5) + 5 (x + 5))}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 1) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5))}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 1) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 8

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 8.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 8.1.2

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 8.1.3

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 5 x + 25)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 8.2

$5 x$ と $5 x$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 10 x + 25)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 9

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x - 1) (x^{2} + 10 x + 25)$ を展開します。

$\frac{x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 10

各項を簡約します。

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ステップ 10.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 10.1.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 10.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 10.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 + 2} + x (10 x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 10.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + x (10 x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 10.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 10.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 10.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{3} + 10 (x \cdot x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 10.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 10.4

$25$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 \cdot x - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 10.5

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 x - x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 10.6

$10$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 x - x^{2} - 10 x - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 10.7

$- 1$ に $25$ をかけます。

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 x - x^{2} - 10 x - 25}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 11

$10 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 25 x - 10 x - 25}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 12

$25 x$ から $10 x$ を引きます。

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 25}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 13

分数 $\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 25}{{(x - 3)}^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 25}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 14

分数 $\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x}{{(x - 3)}^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{x^{3} + 9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{15 x}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 25}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 15

分数 $\frac{x^{3} + 9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{x^{3}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{15 x}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 25}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 16

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{3}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{15 x}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{25}{{(x - 3)}^{2}}$

代数学準備 例

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