代数学準備例

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y} \div \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 x^{2} + 6 x}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

ステップ 2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = y$ です。

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2} + x y} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

ステップ 3

$x$ を $x^{2} + x y$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x + y) (x - y)}{x \cdot x + x y} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

ステップ 3.2

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{(x + y) (x - y)}{x \cdot x + x (y)} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

ステップ 3.3

$x$ を $x \cdot x + x (y)$ で因数分解します。

$\frac{(x + y) (x - y)}{x (x + y)} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

ステップ 4

$x + y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + y) (x - y)}{x (x + y)} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

ステップ 5

$3 x$ を $3 x^{2} + 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x) + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

ステップ 5.2

$3 x$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x) + 3 x (2)}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

ステップ 5.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (2)$ で因数分解します。

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

ステップ 6

群による因数分解。

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ステップ 6.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 6.1.1

項を並べ替えます。

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} - y^{2} - 2 x y}$

ステップ 6.1.2

$- y^{2}$ と $- 2 x y$ を並べ替えます。

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

ステップ 6.1.3

$- 2$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} - 2 (x y) - y^{2}}$

ステップ 6.1.4

$- 2$ を $1$ プラス $- 3$ に書き換える

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} + (1 - 3) (x y) - y^{2}}$

ステップ 6.1.5

分配則を当てはめます。

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} + 1 (x y) - 3 (x y) - y^{2}}$

ステップ 6.1.6

$x y$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} + x y - 3 (x y) - y^{2}}$

ステップ 6.1.7

括弧を移動させます。

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} + x y - 3 x y - y^{2}}$

ステップ 6.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 6.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{(3 x^{2} + x y) - 3 x y - y^{2}}$

ステップ 6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{x (3 x + y) - y (3 x + y)}$

ステップ 6.3

最大公約数 $3 x + y$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{(3 x + y) (x - y)}$

ステップ 7

$x - y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

$x - y$ を $(3 x + y) (x - y)$ で因数分解します。

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{(x - y) (3 x + y)}$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{(x - y) (3 x + y)}$

ステップ 7.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x + y}$

ステップ 8

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1

$x$ を $3 x (x + 2)$ で因数分解します。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (3 (x + 2))}{3 x + y}$

ステップ 8.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (3 (x + 2))}{3 x + y}$

ステップ 8.3

式を書き換えます。

$\frac{3 (x + 2)}{3 x + y}$

ステップ 9

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{3 x + y}$

ステップ 10

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x + 6}{3 x + y}$

ステップ 11

分数 $\frac{3 x + 6}{3 x + y}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{3 x}{3 x + y} + \frac{6}{3 x + y}$

代数学準備 例

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