代数学準備例

$2 x^{2} + y^{2} + 4 y = 144$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

$y^{2} + 4 y$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

ステップ 1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

ステップ 1.1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{2}{1}$

ステップ 1.1.3.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$d = 2$

ステップ 1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1

$4^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.1.1

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1.2.1

$4$ を $4 \cdot 1$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{4}{1}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - 4$

ステップ 1.1.4.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$e = - 4$

ステップ 1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y + 2)}^{2} - 4$ に代入します。

${(y + 2)}^{2} - 4$

ステップ 1.2

${(y + 2)}^{2} - 4$ を方程式 $2 x^{2} + y^{2} + 4 y = 144$ の中の $y^{2} + 4 y$ に代入します。

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 144$

ステップ 1.3

両辺に $4$ を加えて、 $- 4$ を方程式の右辺に移動させます。

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 144 + 4$

ステップ 1.4

$144$ と $4$ をたし算します。

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 148$

ステップ 1.5

各項を $148$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{2 x^{2}}{148} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{148} = \frac{148}{148}$

ステップ 1.6

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{74} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{148} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 2 \sqrt{37}$

$b = \sqrt{74}$

$k = - 2$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, - 2)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2 \sqrt{37})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

式を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

積の法則を $2 \sqrt{37}$ に当てはめます。

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{37}}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 {\sqrt{37}}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{37}}^{2}$ を $37$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{37}$ を $37^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{4 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{4 \cdot 37^{1} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{4 \cdot 37 - {(\sqrt{74})}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$4$ に $37$ をかけます。

$\sqrt{148 - {(\sqrt{74})}^{2}}$

ステップ 5.3.4

${\sqrt{74}}^{2}$ を $74$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{74}$ を $74^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{148 - {(74^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{148 - 74^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.4.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{148 - 74^{1}}$

ステップ 5.3.4.5

指数を求めます。

$\sqrt{148 - 1 \cdot 74}$

ステップ 5.3.5

式を簡約します。

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ステップ 5.3.5.1

$- 1$ に $74$ をかけます。

$\sqrt{148 - 74}$

ステップ 5.3.5.2

$148$ から $74$ を引きます。

$\sqrt{74}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

ステップ 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, - 2 - (2 \sqrt{37}))$

ステップ 6.5

簡約します。

$(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

ステップ 6.6

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, - 2 + \sqrt{74})$

ステップ 7.3

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, - 2 - (\sqrt{74}))$

ステップ 7.5

簡約します。

$(0, - 2 - \sqrt{74})$

ステップ 7.6

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{37})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

積の法則を $2 \sqrt{37}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{37}}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{37}}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.1.3

${\sqrt{37}}^{2}$ を $37$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{37}$ を $37^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{1} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.1.3.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37 - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.1.4

$4$ に $37$ をかけます。

$\frac{\sqrt{148 - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.1.5

${\sqrt{74}}^{2}$ を $74$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{74}$ を $74^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{148 - {(74^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{148 - 74^{1}}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.1.5.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{148 - 1 \cdot 74}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.1.6

$- 1$ に $74$ をかけます。

$\frac{\sqrt{148 - 74}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.1.7

$148$ から $74$ を引きます。

$\frac{\sqrt{74}}{2 \sqrt{37}}$

ステップ 8.3.2

$\sqrt{74}$ と $\sqrt{37}$ を単一根にまとめます。

$\frac{\sqrt{\frac{74}{37}}}{2}$

ステップ 8.3.3

$74$ と $37$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

$37$ を $74$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37}}}{2}$

ステップ 8.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.2.1

$37$ を $37$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37 (1)}}}{2}$

ステップ 8.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37 \cdot 1}}}{2}$

ステップ 8.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{\frac{2}{1}}}{2}$

ステップ 8.3.3.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

偏心： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 10

代数学準備 例

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