代数学準備例

$\frac{4 x^{2}}{81} + \frac{4 y^{2}}{45} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{\frac{81}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{45}{4}} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = \frac{9}{2}$

$b = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

積の法則を $\frac{9}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$9$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.4

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 5.3.4.1

積の法則を $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.4.2

積の法則を $3 \sqrt{5}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{3^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.5.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 {\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.5.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.5.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.5.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.5.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{1}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.5.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.6

式を簡約します。

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ステップ 5.3.6.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5}{4}}$

ステップ 5.3.6.2

$9$ に $5$ をかけます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{45}{4}}$

ステップ 5.3.6.3

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{81 - 45}{4}}$

ステップ 5.3.6.4

$81$ から $45$ を引きます。

$\sqrt{\frac{36}{4}}$

ステップ 5.3.6.5

$36$ を $4$ で割ります。

$\sqrt{9}$

ステップ 5.3.6.6

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{3^{2}}$

ステップ 5.3.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$3$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 + \frac{9}{2}, 0)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(\frac{9}{2}, 0)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 - (\frac{9}{2}), 0)$

ステップ 6.6

簡約します。

$(- \frac{9}{2}, 0)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 + 3, 0)$

ステップ 7.3

簡約します。

$(3, 0)$

ステップ 7.4

楕円の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 - (3), 0)$

ステップ 7.6

簡約します。

$(- 3, 0)$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}}}{\frac{9}{2}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.2

積の法則を $\frac{9}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.3

$9$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{2})}^{2}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.5

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 8.3.5.1

積の法則を $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.5.2

積の法則を $3 \sqrt{5}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{3^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.6.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 {\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.6.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.6.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.6.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.6.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.6.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.6.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.6.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5^{1}}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.6.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5}{2^{2}}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.7.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{9 \cdot 5}{4}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.7.2

$9$ に $5$ をかけます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - \frac{45}{4}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.7.3

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{81 - 45}{4}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.7.4

$81$ から $45$ を引きます。

$\sqrt{\frac{36}{4}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.7.5

$36$ を $4$ で割ります。

$\sqrt{9} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.7.6

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{3^{2}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$3 (\frac{2}{9})$

ステップ 8.3.9

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.9.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$3 \frac{2}{3 (3)}$

ステップ 8.3.9.2

共通因数を約分します。

$3 \frac{2}{3 \cdot 3}$

ステップ 8.3.9.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{3}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

偏心： $\frac{2}{3}$

ステップ 10

代数学準備 例

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