代数学準備例

$\frac{{(x - 9)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 10)}^{2}}{7} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 9)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 10)}^{2}}{7} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 3$

$b = \sqrt{7}$

$k = 10$

$h = 9$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(9, 10)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 + {(\sqrt{7})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{9 + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{9 + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{9 + 7^{1}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{9 + 7}$

ステップ 5.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$9$ と $7$ をたし算します。

$\sqrt{16}$

ステップ 5.3.3.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{4^{2}}$

ステップ 5.3.3.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$4$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(12, 10)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(6, 10)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(12, 10), (6, 10)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(13, 10)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(5, 10)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(13, 10), (5, 10)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}}{3}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{9 + {\sqrt{7}}^{2}}}{3}$

ステップ 8.3.2

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{9 + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

ステップ 8.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

ステップ 8.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}}{3}$

ステップ 8.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}}{3}$

ステップ 8.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{9 + 7^{1}}}{3}$

ステップ 8.3.2.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{9 + 7}}{3}$

ステップ 8.3.3

$9$ と $7$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{16}}{3}$

ステップ 8.3.4

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{3}$

ステップ 8.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4}{3}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{4}$

ステップ 9.3

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

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ステップ 9.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

ステップ 9.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

ステップ 9.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 9.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 9.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{7^{1}}{4}$

ステップ 9.3.5

指数を求めます。

$\frac{7}{4}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

ステップ 11

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

ステップ 11.2

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$- 1$ に $9$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - 9) + 10$

ステップ 11.2.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} x + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

ステップ 11.2.3

$\frac{\sqrt{7}}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

ステップ 11.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.1

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (3 (- 3)) + 10$

ステップ 11.2.4.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (3 \cdot - 3) + 10$

ステップ 11.2.4.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \sqrt{7} \cdot - 3 + 10$

ステップ 11.2.5

$- 3$ を $\sqrt{7}$ の左に移動させます。

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10$

ステップ 12

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

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ステップ 12.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

ステップ 12.2

各項を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$- 1$ に $9$ をかけます。

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - 9) + 10$

ステップ 12.2.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} x - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

ステップ 12.2.3

$x$ と $\frac{\sqrt{7}}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

ステップ 12.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.4.1

$- \frac{\sqrt{7}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

ステップ 12.2.4.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot (3 (- 3)) + 10$

ステップ 12.2.4.3

共通因数を約分します。

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot (3 \cdot - 3) + 10$

ステップ 12.2.4.4

式を書き換えます。

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} - \sqrt{7} \cdot - 3 + 10$

ステップ 12.2.5

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10, y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(9, 10)$

頂点： $(12, 10), (6, 10)$

焦点： $(13, 10), (5, 10)$

偏心： $\frac{4}{3}$

焦点のパラメータ： $\frac{7}{4}$

漸近線： $y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10$ 、 $y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

ステップ 15

代数学準備 例

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