代数学準備例

$\frac{x^{2}}{{(\frac{36}{5})}^{2}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{\frac{1296}{25}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = \frac{36}{5}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

積の法則を $\frac{36}{5}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$36$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1296}{25} + {(4)}^{2}}$

ステップ 5.3.4

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16}$

ステップ 5.3.5

$16$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{25}{25}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}}$

ステップ 5.3.6

$16$ と $\frac{25}{25}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}}$

ステップ 5.3.7

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}}$

ステップ 5.3.8

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.8.1

$16$ に $25$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}}$

ステップ 5.3.8.2

$1296$ と $400$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{1696}{25}}$

ステップ 5.3.9

$\sqrt{\frac{1696}{25}}$ を $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$

ステップ 5.3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.10.1

$1696$ を $4^{2} \cdot 106$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.10.1.1

$16$ を $1696$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}}$

ステップ 5.3.10.1.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}}$

ステップ 5.3.10.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}}$

ステップ 5.3.11

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.11.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}}$

ステップ 5.3.11.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4 \sqrt{106}}{5}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{36}{5}, 0)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{36}{5}, 0)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}}{\frac{36}{5}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.2

積の法則を $\frac{36}{5}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.3

$36$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.4

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.5

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16} \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.6

$16$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{25}{25}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}} \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.7

$16$ と $\frac{25}{25}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.8

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.9

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.9.1

$16$ に $25$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}} \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.9.2

$1296$ と $400$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{1696}{25}} \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.10

$\sqrt{\frac{1696}{25}}$ を $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.11

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.11.1

$1696$ を $4^{2} \cdot 106$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.11.1.1

$16$ を $1696$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.11.1.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.11.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.12

分母を簡約します。

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ステップ 8.3.12.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}} \cdot \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.12.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.13

項を簡約します。

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ステップ 8.3.13.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.13.1.1

$4$ を $4 \sqrt{106}$ で因数分解します。

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{36}$

ステップ 8.3.13.1.2

$4$ を $36$ で因数分解します。

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{4 (9)}$

ステップ 8.3.13.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{4 \cdot 9}$

ステップ 8.3.13.1.4

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

ステップ 8.3.13.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.13.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

ステップ 8.3.13.2.2

式を書き換えます。

$\sqrt{106} \frac{1}{9}$

ステップ 8.3.13.3

$\sqrt{106}$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{106}}{9}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{\frac{4^{2}}{4 \sqrt{106}}}{5}$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$4^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.1

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

ステップ 9.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.2.1

$4$ を $4 \sqrt{106}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{106})}}{5}$

ステップ 9.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

ステップ 9.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{4}{\sqrt{106}}}{5}$

ステップ 9.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.3

$\frac{4}{\sqrt{106}}$ に $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ をかけます。

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}} \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.3.4.1

$\frac{4}{\sqrt{106}}$ に $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ をかけます。

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{106} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.4.2

$\sqrt{106}$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.4.3

$\sqrt{106}$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} {\sqrt{106}}^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.4.6

${\sqrt{106}}^{2}$ を $106$ に書き換えます。

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ステップ 9.3.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{106}$ を $106^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{4 \sqrt{106}}{{(106^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.4.6.5

指数を求めます。

$\frac{4 \sqrt{106}}{106} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.5

$4$ と $106$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.5.1

$2$ を $4 \sqrt{106}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{106} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.5.2.1

$2$ を $106$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 (53)} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 \cdot 53} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.6

$\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$ を掛けます。

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ステップ 9.3.6.1

$\frac{2 \sqrt{106}}{53}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{106}}{53 \cdot 5}$

ステップ 9.3.6.2

$53$ に $5$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{5}{9} x + 0$

ステップ 11

$\frac{5}{9} x + 0$ を簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{5}{9} x$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{5}{9} x$

ステップ 11.2

$\frac{5}{9}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{5 x}{9}$

ステップ 12

$- \frac{5}{9} x + 0$ を簡約します。

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ステップ 12.1

$- \frac{5}{9} x$ と $0$ をたし算します。

$y = - \frac{5}{9} x$

ステップ 12.2

$x$ と $\frac{5}{9}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{9}$

ステップ 12.3

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{5 x}{9}$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{5 x}{9}, y = - \frac{5 x}{9}$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

頂点： $(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

焦点： $(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

偏心： $\frac{\sqrt{106}}{9}$

焦点のパラメータ： $\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

漸近線： $y = \frac{5 x}{9}$ 、 $y = - \frac{5 x}{9}$

ステップ 15

代数学準備 例

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