代数学準備例

$| \frac{2 x - 1}{x} | < 2$

ステップ 1

$| \frac{2 x - 1}{x} | < 2$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$\frac{2 x - 1}{x} \geq 0$

ステップ 1.2

不等式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 1.2.3

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.4

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.5

解をまとめます。

$x = 0, \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.6

$| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$\frac{2 x - 1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.2.6.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 1.2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 1.2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{2 (- 2) - 1}{- 2} \geq 0$

ステップ 1.2.8.1.3

左辺 $2.5$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.2.8.2

区間 $0 < x < \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.2.1

区間 $0 < x < \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.25$

ステップ 1.2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0.25$ で置き換えます。

$\frac{2 (0.25) - 1}{0.25} \geq 0$

ステップ 1.2.8.2.3

左辺 $- 2$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.2.8.3

区間 $x > \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.3.1

区間 $x > \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 1.2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\frac{2 (3) - 1}{3} \geq 0$

ステップ 1.2.8.3.3

左辺 $1.\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < \frac{1}{2}$ 偽

$x > \frac{1}{2}$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < \frac{1}{2}$ 偽

$x > \frac{1}{2}$ 真

ステップ 1.2.9

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$ または $x \geq \frac{1}{2}$

ステップ 1.3

$\frac{2 x - 1}{x}$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$\frac{2 x - 1}{x} < 2$

ステップ 1.4

$\frac{2 x - 1}{x} < 2$ の定義域を求め、 $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ との交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$\frac{2 x - 1}{x} < 2$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$\frac{2 x - 1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.4.1.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 1.4.2

$x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ と $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ の交点を求めます。

$x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$

ステップ 1.5

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$\frac{2 x - 1}{x} < 0$

ステップ 1.6

不等式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

ステップ 1.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 1.6.3

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.6.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 1.6.4

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 1.6.5

解をまとめます。

$x = 0, \frac{1}{2}$

ステップ 1.6.6

$| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.6.1

$\frac{2 x - 1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.6.6.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 1.6.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

ステップ 1.6.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.8.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.8.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 1.6.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{2 (- 2) - 1}{- 2} < 0$

ステップ 1.6.8.1.3

左辺 $2.5$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.6.8.2

区間 $0 < x < \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.8.2.1

区間 $0 < x < \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.25$

ステップ 1.6.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0.25$ で置き換えます。

$\frac{2 (0.25) - 1}{0.25} < 0$

ステップ 1.6.8.2.3

左辺 $- 2$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.6.8.3

区間 $x > \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.8.3.1

区間 $x > \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 1.6.8.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\frac{2 (3) - 1}{3} < 0$

ステップ 1.6.8.3.3

左辺 $1.\overline{6}$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.6.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{1}{2}$ 真

$x > \frac{1}{2}$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{1}{2}$ 真

$x > \frac{1}{2}$ 偽

ステップ 1.6.9

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < \frac{1}{2}$

ステップ 1.7

$\frac{2 x - 1}{x}$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- \frac{2 x - 1}{x} < 2$

ステップ 1.8

$- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ の定義域を求め、 $0 < x < \frac{1}{2}$ との交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

$- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1

$\frac{2 x - 1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.8.1.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 1.8.2

$0 < x < \frac{1}{2}$ と $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ の交点を求めます。

$0 < x < \frac{1}{2}$

ステップ 1.9

区分で書きます。

${\begin{cases} \frac{2 x - 1}{x} < 2 & x < 0 or x \geq \frac{1}{2} \\ - \frac{2 x - 1}{x} < 2 & 0 < x < \frac{1}{2} \end{cases}$

ステップ 2

$x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ について $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$\frac{2 x - 1}{x} - 2 < 0$

ステップ 2.1.2

$\frac{2 x - 1}{x} - 2$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{2 x - 1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x} < 0$

ステップ 2.1.2.2

$- 2$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$\frac{2 x - 1}{x} + \frac{- 2 x}{x} < 0$

ステップ 2.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x - 1 - 2 x}{x} < 0$

ステップ 2.1.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{0 - 1}{x} < 0$

ステップ 2.1.2.4.2

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 1}{x} < 0$

ステップ 2.1.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{x} < 0$

ステップ 2.1.3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

ステップ 2.1.4

$- \frac{1}{x}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2.1.4.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 2.1.5

解はすべての真の区間からなります。

$x > 0$

ステップ 2.2

$x > 0$ と $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ の交点を求めます。

$x \geq \frac{1}{2}$

ステップ 3

$0 < x < \frac{1}{2}$ のとき、 $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ について $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$- \frac{2 x - 1}{x} - 2 < 0$

ステップ 3.1.2

$- \frac{2 x - 1}{x} - 2$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$- \frac{2 x - 1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x} < 0$

ステップ 3.1.2.2

$- 2$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$- \frac{2 x - 1}{x} + \frac{- 2 x}{x} < 0$

ステップ 3.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- (2 x - 1) - 2 x}{x} < 0$

ステップ 3.1.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- (2 x) - - 1 - 2 x}{x} < 0$

ステップ 3.1.2.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 x - - 1 - 2 x}{x} < 0$

ステップ 3.1.2.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 x + 1 - 2 x}{x} < 0$

ステップ 3.1.2.4.4

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- 4 x + 1}{x} < 0$

ステップ 3.1.2.5

$- 1$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{- (4 x) + 1}{x} < 0$

ステップ 3.1.2.6

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (4 x) - 1 (- 1)}{x} < 0$

ステップ 3.1.2.7

$- 1$ を $- (4 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (4 x - 1)}{x} < 0$

ステップ 3.1.2.8

$- (4 x - 1)$ を $- 1 (4 x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (4 x - 1)}{x} < 0$

ステップ 3.1.2.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 x - 1}{x} < 0$

ステップ 3.1.3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

$4 x - 1 = 0$

ステップ 3.1.4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$4 x = 1$

ステップ 3.1.5

$4 x = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1

$4 x = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 3.1.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 3.1.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{4}$

ステップ 3.1.6

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = \frac{1}{4}$

ステップ 3.1.7

解をまとめます。

$x = 0, \frac{1}{4}$

ステップ 3.1.8

$- \frac{4 x - 1}{x}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.8.1

$\frac{4 x - 1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 3.1.8.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 3.1.9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

ステップ 3.1.10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.10.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.10.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 3.1.10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$- \frac{2 (- 2) - 1}{- 2} < 2$

ステップ 3.1.10.1.3

左辺 $- 2.5$ は右辺 $2$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 3.1.10.2

区間 $0 < x < \frac{1}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.10.2.1

区間 $0 < x < \frac{1}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.12$

ステップ 3.1.10.2.2

$x$ を元の不等式の $0.12$ で置き換えます。

$- \frac{2 (0.12) - 1}{0.12} < 2$

ステップ 3.1.10.2.3

左辺 $6.\overline{3}$ は右辺 $2$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 3.1.10.3

区間 $x > \frac{1}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.10.3.1

区間 $x > \frac{1}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 3.1.10.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$- \frac{2 (3) - 1}{3} < 2$

ステップ 3.1.10.3.3

左辺 $- 1.\overline{6}$ は右辺 $2$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 3.1.10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < \frac{1}{4}$ 偽

$x > \frac{1}{4}$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < \frac{1}{4}$ 偽

$x > \frac{1}{4}$ 真

ステップ 3.1.11

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$ または $x > \frac{1}{4}$

ステップ 3.2

$x < 0 or x > \frac{1}{4}$ と $0 < x < \frac{1}{2}$ の交点を求めます。

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

ステップ 4

解の和集合を求めます。

$x > \frac{1}{4}$

ステップ 5

$| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{2 x - 1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 5.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$x > \frac{1}{4}$

ステップ 7

代数学準備 例

代数学準備例