代数学準備例

$\frac{x^{3} - 10 x - 24}{x - 3}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{3} - 10 x - 24}{x - 3}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 3$

ステップ 2

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 3

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 1$

ステップ 4

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$3$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$24$

ステップ 5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

ステップ 5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$10 x$

ステップ 5.7

被除数 $3 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$10 x$

ステップ 5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

ステップ 5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{2} - 9 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$10 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$

ステップ 5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$10 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$x$

ステップ 5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$10 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$x$	-	$24$

ステップ 5.12

被除数 $- x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$10 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$x$	-	$24$

ステップ 5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$10 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$x$	-	$24$
							-	$x$	+	$3$

ステップ 5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- x + 3$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$10 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$x$	-	$24$
							+	$x$	-	$3$

ステップ 5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$10 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$x$	-	$24$
							+	$x$	-	$3$
									-	$27$

ステップ 5.16

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x^{2} + 3 x - 1 - \frac{27}{x - 3}$

ステップ 5.17

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = x^{2} + 3 x - 1$

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 3$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = x^{2} + 3 x - 1$

ステップ 7

代数学準備 例

代数学準備例