代数学準備例

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$

ステップ 1

式 $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 3, x = 3$

ステップ 2

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ を左から $x$ $\to$ $- 3$ 、 $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $- 3$ としているので、 $x = - 3$ は垂直漸近線です。

$x = - 3$

ステップ 3

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ を左から $x$ $\to$ $3$ 、 $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $3$ としているので、 $x = 3$ は垂直漸近線です。

$x = 3$

ステップ 4

すべての垂直漸近線のリスト：

$x = - 3, 3$

ステップ 5

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 6

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 2$

ステップ 7

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 8

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 8.1

式を簡約します。

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ステップ 8.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x^{2} - 9}$

ステップ 8.1.1.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} - 9}$

ステップ 8.1.1.3

簡約します。

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ステップ 8.1.1.3.1

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x^{2} - 9}$

ステップ 8.1.1.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 9}$

ステップ 8.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.1.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 3^{2}}$

ステップ 8.1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2

$(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ を展開します。

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ステップ 8.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x^{2} + x + 1) - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x^{2} + x) + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.4

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x) - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.5

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.6

$x$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.9

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.10

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.11

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{3} + x^{1 + 1} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.13

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + x^{2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.14

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.15

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.16

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.17

$x^{2}$ から $1 x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{3} + 0 + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.18

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.19

$x$ から $1 x$ を引きます。

$\frac{x^{3} + 0 - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.2.20

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{3} - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 8.3

$(x + 3) (x - 3)$ を展開します。

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ステップ 8.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} - 1}{x (x - 3) + 3 (x - 3)}$

ステップ 8.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}$

ステップ 8.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}$

ステップ 8.3.4

$x$ と $- 3$ を並べ替えます。

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

ステップ 8.3.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

ステップ 8.3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

ステップ 8.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{3} - 1}{x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

ステップ 8.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

ステップ 8.3.9

$3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 3 x + 3 x - 9}$

ステップ 8.3.10

$- 3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 0 - 9}$

ステップ 8.3.11

$0$ から $9$ を引きます。

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$

ステップ 8.4

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

ステップ 8.5

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

ステップ 8.6

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

ステップ 8.7

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 0 - 9 x$ の符号をすべて変更します。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

ステップ 8.8

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

ステップ 8.9

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$1$

ステップ 8.10

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x + \frac{9 x - 1}{x^{2} - 9}$

ステップ 8.11

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = x$

ステップ 9

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - 3, 3$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = x$

ステップ 10

代数学準備 例

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