代数学準備例

$9 x^{2} - 36 x = - 40$

ステップ 1

方程式の両辺に $40$ を足します。

$9 x^{2} - 36 x + 40 = 0$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

$a = 9$ 、 $b = - 36$ 、および $c = 40$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 40)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 36$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 9 \cdot 40}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 40$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 36 \cdot 40}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.2.2

$- 36$ に $40$ をかけます。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1440}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.3

$1296$ から $1440$ を引きます。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{- 144}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.4

$- 144$ を $- 1 (144)$ に書き換えます。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{- 1 \cdot 144}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.5

$\sqrt{- 1 (144)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}$ に書き換えます。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.7

$144$ を $12^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{12^{2}}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{36 \pm i \cdot 12}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.1.9

$12$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{36 \pm 12 i}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.2

$2$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{36 \pm 12 i}{18}$

ステップ 4.3

$\frac{36 \pm 12 i}{18}$ を簡約します。

$x = \frac{6 \pm 2 i}{3}$

ステップ 5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- 36$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 9 \cdot 40}}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 40$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.1

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 36 \cdot 40}}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.2.2

$- 36$ に $40$ をかけます。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1440}}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.3

$1296$ から $1440$ を引きます。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{- 144}}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.4

$- 144$ を $- 1 (144)$ に書き換えます。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{- 1 \cdot 144}}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.5

$\sqrt{- 1 (144)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}$ に書き換えます。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.7

$144$ を $12^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{12^{2}}}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{36 \pm i \cdot 12}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.1.9

$12$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{36 \pm 12 i}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.2

$2$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{36 \pm 12 i}{18}$

ステップ 5.3

$\frac{36 \pm 12 i}{18}$ を簡約します。

$x = \frac{6 \pm 2 i}{3}$

ステップ 5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{6 + 2 i}{3}$

ステップ 5.5

分数 $\frac{6 + 2 i}{3}$ を2つの分数に分割します。

$x = \frac{6}{3} + \frac{2 i}{3}$

ステップ 5.6

$6$ を $3$ で割ります。

$x = 2 + \frac{2 i}{3}$

ステップ 6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$- 36$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 9 \cdot 40}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 40$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 36 \cdot 40}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.1.2.2

$- 36$ に $40$ をかけます。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1440}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.1.3

$1296$ から $1440$ を引きます。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{- 144}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.1.4

$- 144$ を $- 1 (144)$ に書き換えます。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{- 1 \cdot 144}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.1.5

$\sqrt{- 1 (144)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}$ に書き換えます。

$x = \frac{36 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.1.7

$144$ を $12^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{12^{2}}}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{36 \pm i \cdot 12}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.1.9

$12$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{36 \pm 12 i}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2

$2$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{36 \pm 12 i}{18}$

ステップ 6.3

$\frac{36 \pm 12 i}{18}$ を簡約します。

$x = \frac{6 \pm 2 i}{3}$

ステップ 6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{6 - 2 i}{3}$

ステップ 6.5

分数 $\frac{6 - 2 i}{3}$ を2つの分数に分割します。

$x = \frac{6}{3} + \frac{- 2 i}{3}$

ステップ 6.6

各項を簡約します。

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ステップ 6.6.1

$6$ を $3$ で割ります。

$x = 2 + \frac{- 2 i}{3}$

ステップ 6.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = 2 - \frac{2 i}{3}$

ステップ 7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 2 + \frac{2 i}{3}, 2 - \frac{2 i}{3}$

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