代数学準備例

$3 x^{2} + 5 x + 9 = 0$

ステップ 1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2

$a = 3$ 、 $b = 5$ 、および $c = 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 9)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot 9}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 9$ を掛けます。

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ステップ 3.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot 9}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.1.2.2

$- 12$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 108}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.1.3

$25$ から $108$ を引きます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 83}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.1.4

$- 83$ を $- 1 (83)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 83}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.1.5

$\sqrt{- 1 (83)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{83}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{83}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{83}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{83}}{6}$

ステップ 4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot 9}}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 9$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot 9}}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.1.2.2

$- 12$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 108}}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.1.3

$25$ から $108$ を引きます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 83}}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.1.4

$- 83$ を $- 1 (83)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 83}}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.1.5

$\sqrt{- 1 (83)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{83}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{83}}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{83}}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{83}}{6}$

ステップ 4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 5 + i \sqrt{83}}{6}$

ステップ 4.4

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{83}}{6}$

ステップ 4.5

$- 1$ を $i \sqrt{83}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{83})}{6}$

ステップ 4.6

$- 1$ を $- 1 (5) - (- i \sqrt{83})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{83})}{6}$

ステップ 4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5 - i \sqrt{83}}{6}$

ステップ 5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot 9}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 9$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot 9}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.1.2.2

$- 12$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 108}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.1.3

$25$ から $108$ を引きます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 83}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.1.4

$- 83$ を $- 1 (83)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 83}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.1.5

$\sqrt{- 1 (83)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{83}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{83}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{83}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{83}}{6}$

ステップ 5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 5 - i \sqrt{83}}{6}$

ステップ 5.4

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{83}}{6}$

ステップ 5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{83}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{83})}{6}$

ステップ 5.6

$- 1$ を $- 1 (5) - (i \sqrt{83})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{83})}{6}$

ステップ 5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5 + i \sqrt{83}}{6}$

ステップ 6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{5 - i \sqrt{83}}{6}, - \frac{5 + i \sqrt{83}}{6}$

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