代数学準備例

$10 x^{2} = x^{4} + 25$

ステップ 1

方程式の両辺から $x^{4}$ を引きます。

$10 x^{2} - x^{4} = 25$

ステップ 2

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$10 x^{2} - x^{4} - 25 = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

$- 1$ を $10 x^{2} - x^{4} - 25$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$10 x^{2}$ と $- x^{4}$ を並べ替えます。

$- x^{4} + 10 x^{2} - 25 = 0$

ステップ 3.1.2

$- 1$ を $- x^{4}$ で因数分解します。

$- (x^{4}) + 10 x^{2} - 25 = 0$

ステップ 3.1.3

$- 1$ を $10 x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{4}) - (- 10 x^{2}) - 25 = 0$

ステップ 3.1.4

$- 25$ を $- 1 (25)$ に書き換えます。

$- (x^{4}) - (- 10 x^{2}) - 1 \cdot 25 = 0$

ステップ 3.1.5

$- 1$ を $- (x^{4}) - (- 10 x^{2})$ で因数分解します。

$- (x^{4} - 10 x^{2}) - 1 \cdot 25 = 0$

ステップ 3.1.6

$- 1$ を $- (x^{4} - 10 x^{2}) - 1 (25)$ で因数分解します。

$- (x^{4} - 10 x^{2} + 25) = 0$

ステップ 3.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- ({(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} + 25) = 0$

ステップ 3.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- (u^{2} - 10 u + 25) = 0$

ステップ 3.4

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$- (u^{2} - 10 u + 5^{2}) = 0$

ステップ 3.4.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 u = 2 \cdot u \cdot 5$

ステップ 3.4.3

多項式を書き換えます。

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 3.4.4

$a = u$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- {(u - 5)}^{2} = 0$

ステップ 3.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- {(x^{2} - 5)}^{2} = 0$

ステップ 4

$- {(x^{2} - 5)}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$- {(x^{2} - 5)}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- {(x^{2} - 5)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{{(x^{2} - 5)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.2.2

${(x^{2} - 5)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x^{2} - 5)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

${(x^{2} - 5)}^{2} = 0$

ステップ 5

$x^{2} - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 5 = 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x^{2} = 5$

ステップ 6.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{5}$

ステップ 6.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{5}$

ステップ 6.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

10進法形式：

$x = 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$

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