代数学準備例

$x^{4} - 20 x^{2} = - 64$

ステップ 1

方程式の両辺に $64$ を足します。

$x^{4} - 20 x^{2} + 64 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 64 = 0$

ステップ 2.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

ステップ 2.3

たすき掛けを利用して $u^{2} - 20 u + 64$ を因数分解します。

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ステップ 2.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $64$ で、その和が $- 20$ です。

$- 16, - 4$

ステップ 2.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 16) (u - 4) = 0$

ステップ 2.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$(x^{2} - 16) (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 2.5

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} - 4^{2}) (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 2.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 2.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 2.8

因数分解。

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ステップ 2.8.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x + 4) (x - 4) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.8.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 4) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 4

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 6

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 7

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 8

最終解は $(x + 4) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, 4, - 2, 2$

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