代数学準備例

$2^{X + 3} + 4^{X + 1} - 320 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$2^{X + 3}$ を $2^{X} \cdot 2^{3}$ に書き換えます。

$2^{X} \cdot 2^{3} + 4^{X + 1} - 320 = 0$

ステップ 1.2

$4^{X + 1}$ を $4^{X} \cdot 4^{1}$ に書き換えます。

$2^{X} \cdot 2^{3} + 4^{X} \cdot 4 - 320 = 0$

ステップ 1.3

$2^{X}$ を ${(2^{2})}^{X}$ に書き換えます。

$2^{X} \cdot 2^{3} + {(2^{2})}^{X} \cdot 4 - 320 = 0$

ステップ 1.4

${(2^{2})}^{X}$ を ${(2^{X})}^{2}$ に書き換えます。

$2^{X} \cdot 2^{3} + {(2^{X})}^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

ステップ 1.5

$u = 2^{X}$ とします。 $u$ を $2^{X}$ に代入します。

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ステップ 1.5.1

$2$ を $3$ 乗します。

$u \cdot 8 + u^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

ステップ 1.5.2

$8$ を $u$ の左に移動させます。

$8 u + u^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

ステップ 1.5.3

$4$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$8 u + 4 u^{2} - 320 = 0$

ステップ 1.6

$4$ を $8 u + 4 u^{2} - 320$ で因数分解します。

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ステップ 1.6.1

$4$ を $8 u$ で因数分解します。

$4 (2 u) + 4 u^{2} - 320 = 0$

ステップ 1.6.2

$4$ を $4 u^{2}$ で因数分解します。

$4 (2 u) + 4 (u^{2}) - 320 = 0$

ステップ 1.6.3

$4$ を $- 320$ で因数分解します。

$4 (2 u) + 4 u^{2} + 4 \cdot - 80 = 0$

ステップ 1.6.4

$4$ を $4 (2 u) + 4 u^{2}$ で因数分解します。

$4 (2 u + u^{2}) + 4 \cdot - 80 = 0$

ステップ 1.6.5

$4$ を $4 (2 u + u^{2}) + 4 \cdot - 80$ で因数分解します。

$4 (2 u + u^{2} - 80) = 0$

ステップ 1.7

因数分解。

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ステップ 1.7.1

たすき掛けを利用して $2 u + u^{2} - 80$ を因数分解します。

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ステップ 1.7.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 80$ で、その和が $2$ です。

$- 8, 10$

ステップ 1.7.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$4 ((u - 8) (u + 10)) = 0$

ステップ 1.7.2

不要な括弧を削除します。

$4 (u - 8) (u + 10) = 0$

ステップ 1.8

$u$ のすべての発生を $2^{X}$ で置き換えます。

$4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2^{X} - 8 = 0$

$2^{X} + 10 = 0$

ステップ 3

$2^{X} - 8$ を $0$ に等しくし、 $X$ を解きます。

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ステップ 3.1

$2^{X} - 8$ が $0$ に等しいとします。

$2^{X} - 8 = 0$

ステップ 3.2

$X$ について $2^{X} - 8 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$2^{X} = 8$

ステップ 3.2.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$2^{X} = 2^{3}$

ステップ 3.2.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$X = 3$

ステップ 4

$2^{X} + 10$ を $0$ に等しくし、 $X$ を解きます。

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ステップ 4.1

$2^{X} + 10$ が $0$ に等しいとします。

$2^{X} + 10 = 0$

ステップ 4.2

$X$ について $2^{X} + 10 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$2^{X} = - 10$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{X}) = \ln (- 10)$

ステップ 4.2.3

$\ln (- 10)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 4.2.4

$2^{X} = - 10$ の解はありません

解がありません

ステップ 5

最終解は $4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$ を真にするすべての値です。

$X = 3$

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