代数学準備例

$x^{2} + {(2 x - 5)}^{2} = 610$

ステップ 1

方程式の両辺から $610$ を引きます。

$x^{2} + {(2 x - 5)}^{2} - 610 = 0$

ステップ 2

$x^{2} + {(2 x - 5)}^{2} - 610$ を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

${(2 x - 5)}^{2}$ を $(2 x - 5) (2 x - 5)$ に書き換えます。

$x^{2} + (2 x - 5) (2 x - 5) - 610 = 0$

ステップ 2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x - 5) (2 x - 5)$ を展開します。

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ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5) - 610 = 0$

ステップ 2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5) - 610 = 0$

ステップ 2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 610 = 0$

ステップ 2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 610 = 0$

ステップ 2.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 610 = 0$

ステップ 2.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 610 = 0$

ステップ 2.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 610 = 0$

ステップ 2.1.3.1.4

$- 5$ に $2$ をかけます。

$x^{2} + 4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - 610 = 0$

ステップ 2.1.3.1.5

$2$ に $- 5$ をかけます。

$x^{2} + 4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 - 610 = 0$

ステップ 2.1.3.1.6

$- 5$ に $- 5$ をかけます。

$x^{2} + 4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25 - 610 = 0$

ステップ 2.1.3.2

$- 10 x$ から $10 x$ を引きます。

$x^{2} + 4 x^{2} - 20 x + 25 - 610 = 0$

ステップ 2.2

$x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$5 x^{2} - 20 x + 25 - 610 = 0$

ステップ 2.3

$25$ から $610$ を引きます。

$5 x^{2} - 20 x - 585 = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

$5$ を $5 x^{2} - 20 x - 585$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$5$ を $5 x^{2}$ で因数分解します。

$5 (x^{2}) - 20 x - 585 = 0$

ステップ 3.1.2

$5$ を $- 20 x$ で因数分解します。

$5 (x^{2}) + 5 (- 4 x) - 585 = 0$

ステップ 3.1.3

$5$ を $- 585$ で因数分解します。

$5 x^{2} + 5 (- 4 x) + 5 \cdot - 117 = 0$

ステップ 3.1.4

$5$ を $5 x^{2} + 5 (- 4 x)$ で因数分解します。

$5 (x^{2} - 4 x) + 5 \cdot - 117 = 0$

ステップ 3.1.5

$5$ を $5 (x^{2} - 4 x) + 5 \cdot - 117$ で因数分解します。

$5 (x^{2} - 4 x - 117) = 0$

ステップ 3.2

因数分解。

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ステップ 3.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 4 x - 117$ を因数分解します。

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ステップ 3.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 117$ で、その和が $- 4$ です。

$- 13, 9$

ステップ 3.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$5 ((x - 13) (x + 9)) = 0$

ステップ 3.2.2

不要な括弧を削除します。

$5 (x - 13) (x + 9) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 13 = 0$

$x + 9 = 0$

ステップ 5

$x - 13$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 13$ が $0$ に等しいとします。

$x - 13 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $13$ を足します。

$x = 13$

ステップ 6

$x + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x + 9 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x = - 9$

ステップ 7

最終解は $5 (x - 13) (x + 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 13, - 9$

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