代数学準備例

$x^{2} + {(\frac{4 x + 25}{3})}^{2} = 25$

ステップ 1

$x^{2} + {(\frac{4 x + 25}{3})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

積の法則を $\frac{4 x + 25}{3}$ に当てはめます。

$x^{2} + \frac{{(4 x + 25)}^{2}}{3^{2}} = 25$

ステップ 1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$x^{2} + \frac{{(4 x + 25)}^{2}}{9} = 25$

ステップ 1.2

$x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$x^{2} \cdot \frac{9}{9} + \frac{{(4 x + 25)}^{2}}{9} = 25$

ステップ 1.3

項を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$x^{2}$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \cdot 9}{9} + \frac{{(4 x + 25)}^{2}}{9} = 25$

ステップ 1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} \cdot 9 + {(4 x + 25)}^{2}}{9} = 25$

ステップ 1.4

$9$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{9 x^{2} + {(4 x + 25)}^{2}}{9} = 25$

ステップ 2

両辺に $9$ を掛けます。

$\frac{9 x^{2} + {(4 x + 25)}^{2}}{9} \cdot 9 = 25 \cdot 9$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 x^{2} + {(4 x + 25)}^{2}}{9} \cdot 9 = 25 \cdot 9$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$9 x^{2} + {(4 x + 25)}^{2} = 25 \cdot 9$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$25$ に $9$ をかけます。

$9 x^{2} + {(4 x + 25)}^{2} = 225$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $225$ を引きます。

$9 x^{2} + {(4 x + 25)}^{2} - 225 = 0$

ステップ 4.2

$9 x^{2} + {(4 x + 25)}^{2} - 225$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

${(4 x + 25)}^{2}$ を $(4 x + 25) (4 x + 25)$ に書き換えます。

$9 x^{2} + (4 x + 25) (4 x + 25) - 225 = 0$

ステップ 4.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x + 25) (4 x + 25)$ を展開します。

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ステップ 4.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$9 x^{2} + 4 x (4 x + 25) + 25 (4 x + 25) - 225 = 0$

ステップ 4.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$9 x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 25 + 25 (4 x + 25) - 225 = 0$

ステップ 4.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$9 x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 25 + 25 (4 x) + 25 \cdot 25 - 225 = 0$

ステップ 4.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.2.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$9 x^{2} + 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 25 + 25 (4 x) + 25 \cdot 25 - 225 = 0$

ステップ 4.2.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$9 x^{2} + 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 25 + 25 (4 x) + 25 \cdot 25 - 225 = 0$

ステップ 4.2.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$9 x^{2} + 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 25 + 25 (4 x) + 25 \cdot 25 - 225 = 0$

ステップ 4.2.1.3.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$9 x^{2} + 16 x^{2} + 4 x \cdot 25 + 25 (4 x) + 25 \cdot 25 - 225 = 0$

ステップ 4.2.1.3.1.4

$25$ に $4$ をかけます。

$9 x^{2} + 16 x^{2} + 100 x + 25 (4 x) + 25 \cdot 25 - 225 = 0$

ステップ 4.2.1.3.1.5

$4$ に $25$ をかけます。

$9 x^{2} + 16 x^{2} + 100 x + 100 x + 25 \cdot 25 - 225 = 0$

ステップ 4.2.1.3.1.6

$25$ に $25$ をかけます。

$9 x^{2} + 16 x^{2} + 100 x + 100 x + 625 - 225 = 0$

ステップ 4.2.1.3.2

$100 x$ と $100 x$ をたし算します。

$9 x^{2} + 16 x^{2} + 200 x + 625 - 225 = 0$

ステップ 4.2.2

$9 x^{2}$ と $16 x^{2}$ をたし算します。

$25 x^{2} + 200 x + 625 - 225 = 0$

ステップ 4.2.3

$625$ から $225$ を引きます。

$25 x^{2} + 200 x + 400 = 0$

ステップ 4.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.3.1

$25$ を $25 x^{2} + 200 x + 400$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.1.1

$25$ を $25 x^{2}$ で因数分解します。

$25 (x^{2}) + 200 x + 400 = 0$

ステップ 4.3.1.2

$25$ を $200 x$ で因数分解します。

$25 (x^{2}) + 25 (8 x) + 400 = 0$

ステップ 4.3.1.3

$25$ を $400$ で因数分解します。

$25 x^{2} + 25 (8 x) + 25 \cdot 16 = 0$

ステップ 4.3.1.4

$25$ を $25 x^{2} + 25 (8 x)$ で因数分解します。

$25 (x^{2} + 8 x) + 25 \cdot 16 = 0$

ステップ 4.3.1.5

$25$ を $25 (x^{2} + 8 x) + 25 \cdot 16$ で因数分解します。

$25 (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

ステップ 4.3.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.3.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$25 (x^{2} + 8 x + 4^{2}) = 0$

ステップ 4.3.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

ステップ 4.3.2.3

多項式を書き換えます。

$25 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

ステップ 4.3.2.4

$a = x$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$25 {(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 4.4

$25 {(x + 4)}^{2} = 0$ の各項を $25$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.4.1

$25 {(x + 4)}^{2} = 0$ の各項を $25$ で割ります。

$\frac{25 {(x + 4)}^{2}}{25} = \frac{0}{25}$

ステップ 4.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

$25$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{25 {(x + 4)}^{2}}{25} = \frac{0}{25}$

ステップ 4.4.2.1.2

${(x + 4)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{25}$

ステップ 4.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.4.3.1

$0$ を $25$ で割ります。

${(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 4.5

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 4.6

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

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