代数学準備例

$f (x) = 2.3 x {(0.47)}^{x}$

ステップ 1

式 $2.3 x \cdot {0.47}^{x}$ が未定義である場所を求めます。

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$lim_{x \to \infty} 2.3 x \cdot {0.47}^{x}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

$2.3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2.3 lim_{x \to \infty} x \cdot {0.47}^{x}$

ステップ 3.2

$x \cdot {0.47}^{x}$ を $\frac{x}{{0.47}^{- x}}$ に書き換えます。

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{{0.47}^{- x}}$

ステップ 3.3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2.3 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} {0.47}^{- x}}$

ステップ 3.3.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$2.3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} {0.47}^{- x}}$

ステップ 3.3.1.3

指数 $- x$ が $- \infty$ に近づくので、数 ${0.47}^{- x}$ が $\infty$ に近づきます。

$2.3 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$2.3 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{{0.47}^{- x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [{0.47}^{- x}]}$

ステップ 3.3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.3.1

分母と分子を微分します。

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [{0.47}^{- x}]}$

ステップ 3.3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{0.47}^{- x}]}$

ステップ 3.3.3.3

$f (x) = {0.47}^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [{0.47}^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.3.3.3.2

$a$ = $0.47$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{{0.47}^{u} \ln (0.47) \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.3.3.3.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{{0.47}^{- x} \ln (0.47) \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.3.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{{0.47}^{- x} \ln (0.47) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{{0.47}^{- x} \ln (0.47) \cdot - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.3.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{{0.47}^{- x} \ln (0.47) \cdot - 1}$

ステップ 3.3.3.7

$- 1$ を ${0.47}^{- x} \ln (0.47)$ の左に移動させます。

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1 \cdot {0.47}^{- x} \ln (0.47)}$

ステップ 3.3.3.8

$- 1 \cdot {0.47}^{- x}$ を $- {0.47}^{- x}$ に書き換えます。

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{- {0.47}^{- x} \ln (0.47)}$

ステップ 3.3.4

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$2.3 lim_{x \to \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- {0.47}^{- x} \ln (0.47)}$

ステップ 3.3.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$2.3 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{{0.47}^{- x} \ln (0.47)}$

ステップ 3.4

極限を求めます。

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ステップ 3.4.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2.3 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{{0.47}^{- x} \ln (0.47)}$

ステップ 3.4.2

$\frac{1}{\ln (0.47)}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2.3 \cdot - 1 \frac{1}{\ln (0.47)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{{0.47}^{- x}}$

ステップ 3.5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{{0.47}^{- x}}$ は $0$ に近づきます。

$2.3 \cdot - 1 \frac{1}{\ln (0.47)} \cdot 0$

ステップ 3.6

$- \frac{1}{\ln (0.47)} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 3.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$2.3 \cdot 0 \frac{1}{\ln (0.47)}$

ステップ 3.6.2

$0$ に $\frac{1}{\ln (0.47)}$ をかけます。

$2.3 \cdot 0$

ステップ 3.7

$2.3$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = 0$

ステップ 5

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線： $y = 0$

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

代数学準備 例

代数学準備例