代数学準備例

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} + 3$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $y$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{4}$ と ${(x + 4)}^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{{(x + 4)}^{2}}{4} + 3$

ステップ 1.1.2

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} + 3$

ステップ 1.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = 3$

ステップ 1.3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 4, 3)$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

ステップ 1.5.3

簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

ステップ 1.5.3.2

数を割って簡約します。

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ステップ 1.5.3.2.1

$4$ を $4$ で割ります。

$\frac{1}{1}$

ステップ 1.5.3.2.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 4, 4)$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - 4$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = 2$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- 4, 3)$

焦点： $(- 4, 4)$

対称軸： $x = - 4$

準線： $y = 2$

方向：上に開

頂点： $(- 4, 3)$

焦点： $(- 4, 4)$

対称軸： $x = - 4$

準線： $y = 2$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{4} + 2 (- 6) + 7$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f (- 6) = \frac{36}{4} + 2 (- 6) + 7$

ステップ 2.2.1.2

$36$ を $4$ で割ります。

$f (- 6) = 9 + 2 (- 6) + 7$

ステップ 2.2.1.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$f (- 6) = 9 - 12 + 7$

ステップ 2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$9$ から $12$ を引きます。

$f (- 6) = - 3 + 7$

ステップ 2.2.2.2

$- 3$ と $7$ をたし算します。

$f (- 6) = 4$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $4$ です。

$4$

ステップ 2.3

$x = - 6$ における $y$ 値は $4$ です。

$y = 4$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{4} + 2 (- 5) + 7$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f (- 5) = \frac{25}{4} + 2 (- 5) + 7$

ステップ 2.5.1.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$f (- 5) = \frac{25}{4} - 10 + 7$

ステップ 2.5.2

公分母を求めます。

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ステップ 2.5.2.1

$- 10$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} + 7$

ステップ 2.5.2.2

$\frac{- 10}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} \cdot \frac{4}{4} + 7$

ステップ 2.5.2.3

$\frac{- 10}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + 7$

ステップ 2.5.2.4

$7$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1}$

ステップ 2.5.2.5

$\frac{7}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 2.5.2.6

$\frac{7}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.5.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 5) = \frac{25 - 10 \cdot 4 + 7 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.5.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

$- 10$ に $4$ をかけます。

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 7 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.5.4.2

$7$ に $4$ をかけます。

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 28}{4}$

ステップ 2.5.5

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.5.5.1

$25$ から $40$ を引きます。

$f (- 5) = \frac{- 15 + 28}{4}$

ステップ 2.5.5.2

$- 15$ と $28$ をたし算します。

$f (- 5) = \frac{13}{4}$

ステップ 2.5.6

最終的な答えは $\frac{13}{4}$ です。

$\frac{13}{4}$

ステップ 2.6

$x = - 5$ における $y$ 値は $\frac{13}{4}$ です。

$y = \frac{13}{4}$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 2 (- 2) + 7$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = \frac{4}{4} + 2 (- 2) + 7$

ステップ 2.8.1.2

$4$ を $4$ で割ります。

$f (- 2) = 1 + 2 (- 2) + 7$

ステップ 2.8.1.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = 1 - 4 + 7$

ステップ 2.8.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

$1$ から $4$ を引きます。

$f (- 2) = - 3 + 7$

ステップ 2.8.2.2

$- 3$ と $7$ をたし算します。

$f (- 2) = 4$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは $4$ です。

$4$

ステップ 2.9

$x = - 2$ における $y$ 値は $4$ です。

$y = 4$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + 2 (- 3) + 7$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3) = \frac{9}{4} + 2 (- 3) + 7$

ステップ 2.11.1.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{9}{4} - 6 + 7$

ステップ 2.11.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.2.1

$- 6$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} + 7$

ステップ 2.11.2.2

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 7$

ステップ 2.11.2.3

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 7$

ステップ 2.11.2.4

$7$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1}$

ステップ 2.11.2.5

$\frac{7}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 2.11.2.6

$\frac{7}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.11.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 3) = \frac{9 - 6 \cdot 4 + 7 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.11.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.4.1

$- 6$ に $4$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 7 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.11.4.2

$7$ に $4$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 28}{4}$

ステップ 2.11.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1

$9$ から $24$ を引きます。

$f (- 3) = \frac{- 15 + 28}{4}$

ステップ 2.11.5.2

$- 15$ と $28$ をたし算します。

$f (- 3) = \frac{13}{4}$

ステップ 2.11.6

最終的な答えは $\frac{13}{4}$ です。

$\frac{13}{4}$

ステップ 2.12

$x = - 3$ における $y$ 値は $\frac{13}{4}$ です。

$y = \frac{13}{4}$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 4 \\ - 5 & \frac{13}{4} \\ - 4 & 3 \\ - 3 & \frac{13}{4} \\ - 2 & 4 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- 4, 3)$

焦点： $(- 4, 4)$

対称軸： $x = - 4$

準線： $y = 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 4 \\ - 5 & \frac{13}{4} \\ - 4 & 3 \\ - 3 & \frac{13}{4} \\ - 2 & 4 \end{array}$

ステップ 4

代数学準備 例

代数学準備例