代数学準備例

$f (x) = \frac{(2) (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

ステップ 1

漸近線を求めます。

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ステップ 1.1

式 $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 1.2

$\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $0$ 、 $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ を右から $x$ $\to$ $0$ としているので、 $x = 0$ は垂直漸近線です。

$x = 0$

ステップ 1.3

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 1.3.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.3.2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.2.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.2.1.2.1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.1.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$2 \frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.2.1.2.3.1

0でない定数に無限大倍すると無限大です。

$2 \frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.3.2

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 1.3.2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 1.3.2.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.2.3.1

分母と分子を微分します。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.2.3.2

総和則では、 $1 - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.2.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.2.3.4

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.2.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.2.3.4.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.2.3.5

$0$ から $\frac{1}{x}$ を引きます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.2.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{2 x}$

ステップ 1.3.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

ステップ 1.3.2.5

因数をまとめます。

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ステップ 1.3.2.5.1

$\frac{1}{2 x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x \cdot x}$

ステップ 1.3.2.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x}$

ステップ 1.3.2.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}$

ステップ 1.3.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

ステップ 1.3.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{2}}$

ステップ 1.3.3

極限を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}$

ステップ 1.3.3.2

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.3.4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 1.3.5

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.5.1.1

$2$ を $2 \cdot - 1$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 1.3.5.1.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 1.3.5.1.3

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 0$

ステップ 1.3.5.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 1.4

水平漸近線のリスト：

$y = 0$

ステップ 1.5

対数関数と三角関数の斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 1.6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線： $y = 0$

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線： $y = 0$

ステップ 2

$x = 1$ で点を求めます。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{(2) (1 - \ln (1))}{{(1)}^{2}}$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (1) = \frac{2 (1 - 0)}{1^{2}}$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (1) = \frac{2 (1 + 0)}{1^{2}}$

ステップ 2.2.1.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1^{2}}$

ステップ 2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1}$

ステップ 2.2.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{2}{1}$

ステップ 2.2.2.3

$2$ を $1$ で割ります。

$f (1) = 2$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 2.3

$2$ を10進数に変換します。

$y = 2$

ステップ 3

$x = 2$ で点を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{{(2)}^{2}}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2$ を ${(2)}^{2}$ で因数分解します。

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.2.1.2

共通因数を約分します。

$f (2) = \frac{2 (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.2.1.3

式を書き換えます。

$f (2) = \frac{1 - \ln (2)}{2}$

ステップ 3.2.2

最終的な答えは $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ です。

$\frac{1 - \ln (2)}{2}$

ステップ 3.3

$\frac{1 - \ln (2)}{2}$ を10進数に変換します。

$y = 0.1534264$

ステップ 4

$x = 3$ で点を求めます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \frac{(2) (1 - \ln (3))}{{(3)}^{2}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = \frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

ステップ 4.2.2

最終的な答えは $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ です。

$\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

ステップ 4.3

$\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ を10進数に変換します。

$y = - 0.02191384$

ステップ 5

対数関数は、 $x = 0$ における垂直漸近線と点 $(1, 2), (2, 0.1534264), (3, - 0.02191384)$ を利用してグラフにすることができます。

垂直漸近線： $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & 0.153 \\ 3 & - 0.022 \end{array}$

ステップ 6

代数学準備 例

代数学準備例