代数学準備例

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - 3$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $y$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

${(x + 1)}^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{{(x + 1)}^{2}}{2} - 3$

ステップ 1.1.2

項を並べ替えます。

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - 3$

ステップ 1.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{2}$

$h = - 1$

$k = - 3$

ステップ 1.3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 1, - 3)$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.5.3

簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.5.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.5.3.2

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

ステップ 1.5.3.3

$4$ を $2$ で割ります。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 1, - \frac{7}{2})$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - 1$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{5}{2}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(- 1, - 3)$

焦点： $(- 1, - \frac{7}{2})$

対称軸： $x = - 1$

準線： $y = - \frac{5}{2}$

方向：下に開

頂点： $(- 1, - 3)$

焦点： $(- 1, - \frac{7}{2})$

対称軸： $x = - 1$

準線： $y = - \frac{5}{2}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = - \frac{{(- 3)}^{2}}{2} - (- 3) - \frac{7}{2}$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- {(- 3)}^{2} - 7}{2}$

ステップ 2.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 1 \cdot 9 - 7}{2}$

ステップ 2.2.2.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 9 - 7}{2}$

ステップ 2.2.3

$- 9$ から $7$ を引きます。

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 16}{2}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 3) = 3 + \frac{- 16}{2}$

ステップ 2.2.4.2

$- 16$ を $2$ で割ります。

$f (- 3) = 3 - 8$

ステップ 2.2.5

$3$ から $8$ を引きます。

$f (- 3) = - 5$

ステップ 2.2.6

最終的な答えは $- 5$ です。

$- 5$

ステップ 2.3

$x = - 3$ における $y$ 値は $- 5$ です。

$y = - 5$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - (- 2) - \frac{7}{2}$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

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ステップ 2.5.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- {(- 2)}^{2} - 7}{2}$

ステップ 2.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 1 \cdot 4 - 7}{2}$

ステップ 2.5.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 4 - 7}{2}$

ステップ 2.5.3

$- 4$ から $7$ を引きます。

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 11}{2}$

ステップ 2.5.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = 2 + \frac{- 11}{2}$

ステップ 2.5.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 2) = 2 - \frac{11}{2}$

ステップ 2.5.5

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (- 2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11}{2}$

ステップ 2.5.6

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{11}{2}$

ステップ 2.5.7

公分母の分子をまとめます。

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2 - 11}{2}$

ステップ 2.5.8

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.8.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- 2) = \frac{4 - 11}{2}$

ステップ 2.5.8.2

$4$ から $11$ を引きます。

$f (- 2) = \frac{- 7}{2}$

ステップ 2.5.9

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 2) = - \frac{7}{2}$

ステップ 2.5.10

最終的な答えは $- \frac{7}{2}$ です。

$- \frac{7}{2}$

ステップ 2.6

$x = - 2$ における $y$ 値は $- \frac{7}{2}$ です。

$y = - \frac{7}{2}$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} - (1) - \frac{7}{2}$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

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ステップ 2.8.1

公分母の分子をまとめます。

$f (1) = - (1) + \frac{- {(1)}^{2} - 7}{2}$

ステップ 2.8.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = - (1) + \frac{- 1 \cdot 1 - 7}{2}$

ステップ 2.8.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - (1) + \frac{- 1 - 7}{2}$

ステップ 2.8.3

$- 1$ から $7$ を引きます。

$f (1) = - (1) + \frac{- 8}{2}$

ステップ 2.8.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - 1 + \frac{- 8}{2}$

ステップ 2.8.4.2

$- 8$ を $2$ で割ります。

$f (1) = - 1 - 4$

ステップ 2.8.5

$- 1$ から $4$ を引きます。

$f (1) = - 5$

ステップ 2.8.6

最終的な答えは $- 5$ です。

$- 5$

ステップ 2.9

$x = 1$ における $y$ 値は $- 5$ です。

$y = - 5$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - \frac{7}{2}$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

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ステップ 2.11.1

公分母の分子をまとめます。

$f (0) = - (0) + \frac{- {(0)}^{2} - 7}{2}$

ステップ 2.11.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.11.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - (0) + \frac{- 0 - 7}{2}$

ステップ 2.11.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = - (0) + \frac{0 - 7}{2}$

ステップ 2.11.3

$0$ から $7$ を引きます。

$f (0) = - (0) + \frac{- 7}{2}$

ステップ 2.11.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.11.4.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + \frac{- 7}{2}$

ステップ 2.11.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (0) = 0 - \frac{7}{2}$

ステップ 2.11.5

$0$ から $\frac{7}{2}$ を引きます。

$f (0) = - \frac{7}{2}$

ステップ 2.11.6

最終的な答えは $- \frac{7}{2}$ です。

$- \frac{7}{2}$

ステップ 2.12

$x = 0$ における $y$ 値は $- \frac{7}{2}$ です。

$y = - \frac{7}{2}$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & - 3 \\ 0 & - \frac{7}{2} \\ 1 & - 5 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(- 1, - 3)$

焦点： $(- 1, - \frac{7}{2})$

対称軸： $x = - 1$

準線： $y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & - 3 \\ 0 & - \frac{7}{2} \\ 1 & - 5 \end{array}$

ステップ 4

代数学準備 例

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