代数学準備例

$f (x) = - \frac{9}{2} x^{2} + \frac{1}{3} + 6$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$- \frac{9}{2} x^{2} + \frac{1}{3} + 6$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

$x^{2}$ と $\frac{9}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 9}{2} + \frac{1}{3} + 6$

ステップ 1.1.1.1.2

$9$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} + 6$

ステップ 1.1.1.2

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 1.1.1.3

$6$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}$

ステップ 1.1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1 + 6 \cdot 3}{3}$

ステップ 1.1.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.1

$6$ に $3$ をかけます。

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1 + 18}{3}$

ステップ 1.1.1.5.2

$1$ と $18$ をたし算します。

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 1.1.2

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{19}{3}$ の平方完成。

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ステップ 1.1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - \frac{9}{2}$

$b = 0$

$c = \frac{19}{3}$

ステップ 1.1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{0}{2 (- \frac{9}{2})}$

ステップ 1.1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.2.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.2.1.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{9}{2})}$

ステップ 1.1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{9}{2})}$

ステップ 1.1.2.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{0}{- \frac{9}{2}}$

ステップ 1.1.2.3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = 0 (- \frac{2}{9})$

ステップ 1.1.2.3.2.3

$0 (- \frac{2}{9})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.2.3.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$d = 0 (\frac{2}{9})$

ステップ 1.1.2.3.2.3.2

$0$ に $\frac{2}{9}$ をかけます。

$d = 0$

ステップ 1.1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{19}{3} - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{9}{2})}$

ステップ 1.1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e = \frac{19}{3} - \frac{0}{4 (- \frac{9}{2})}$

ステップ 1.1.2.4.2.1.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = \frac{19}{3} - \frac{0}{- 4 (\frac{9}{2})}$

ステップ 1.1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ と $\frac{9}{2}$ をまとめます。

$e = \frac{19}{3} - \frac{0}{\frac{- 4 \cdot 9}{2}}$

ステップ 1.1.2.4.2.1.3

$- 4$ に $9$ をかけます。

$e = \frac{19}{3} - \frac{0}{\frac{- 36}{2}}$

ステップ 1.1.2.4.2.1.4

$- 36$ を $2$ で割ります。

$e = \frac{19}{3} - \frac{0}{- 18}$

ステップ 1.1.2.4.2.1.5

$0$ を $- 18$ で割ります。

$e = \frac{19}{3} - 0$

ステップ 1.1.2.4.2.1.6

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e = \frac{19}{3} + 0$

ステップ 1.1.2.4.2.2

$\frac{19}{3}$ と $0$ をたし算します。

$e = \frac{19}{3}$

ステップ 1.1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- \frac{9}{2} {(x + 0)}^{2} + \frac{19}{3}$ に代入します。

$- \frac{9}{2} {(x + 0)}^{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 1.1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - \frac{9}{2} \cdot {(x + 0)}^{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 1.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - \frac{9}{2}$

$h = 0$

$k = \frac{19}{3}$

ステップ 1.3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(0, \frac{19}{3})$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{9}{2})}$

ステップ 1.5.3

簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{9}{2})}$

ステップ 1.5.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4 (\frac{9}{2})}$

ステップ 1.5.3.2

$4$ と $\frac{9}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 9}{2}}$

ステップ 1.5.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.3.1

$4$ に $9$ をかけます。

$- \frac{1}{\frac{36}{2}}$

ステップ 1.5.3.3.2

$36$ を $2$ で割ります。

$- \frac{1}{18}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, \frac{113}{18})$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = \frac{115}{18}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(0, \frac{19}{3})$

焦点： $(0, \frac{113}{18})$

対称軸： $x = 0$

準線： $y = \frac{115}{18}$

方向：下に開

頂点： $(0, \frac{19}{3})$

焦点： $(0, \frac{113}{18})$

対称軸： $x = 0$

準線： $y = \frac{115}{18}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = - \frac{9 {(- 1)}^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = - \frac{9 \cdot 1}{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.2.1.2

$9$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{9}{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.2.2

$- \frac{9}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (- 1) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.2.3

$\frac{19}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (- 1) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.2.4.1

$\frac{9}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.2.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.2.4.3

$\frac{19}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

ステップ 2.2.4.4

$3$ に $2$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19 \cdot 2}{6}$

ステップ 2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f (- 1) = \frac{- 9 \cdot 3 + 19 \cdot 2}{6}$

ステップ 2.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$- 9$ に $3$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{- 27 + 19 \cdot 2}{6}$

ステップ 2.2.6.2

$19$ に $2$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{- 27 + 38}{6}$

ステップ 2.2.6.3

$- 27$ と $38$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{11}{6}$

ステップ 2.2.7

最終的な答えは $\frac{11}{6}$ です。

$\frac{11}{6}$

ステップ 2.3

$x = - 1$ における $y$ 値は $\frac{11}{6}$ です。

$y = \frac{11}{6}$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = - \frac{9 {(- 2)}^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

${(- 2)}^{2}$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$f (- 2) = - \frac{9 {(- 1 \cdot 2)}^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.5.1.1.2

積の法則を $- 1 (2)$ に当てはめます。

$f (- 2) = - \frac{9 ({(- 1)}^{2} \cdot 2^{2})}{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.5.1.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = - \frac{9 (1 \cdot 2^{2})}{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.5.1.1.4

$2^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- 2) = - \frac{9 \cdot 2^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.5.1.1.5

$2$ を $9 \cdot 2^{2}$ で因数分解します。

$f (- 2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.5.1.1.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1.6.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- 2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2 (1)} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.5.1.1.6.2

共通因数を約分します。

$f (- 2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2 \cdot 1} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.5.1.1.6.3

式を書き換えます。

$f (- 2) = - \frac{9 \cdot 2}{1} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.5.1.1.6.4

$9 \cdot 2$ を $1$ で割ります。

$f (- 2) = - (9 \cdot 2) + \frac{19}{3}$

ステップ 2.5.1.2

$- (9 \cdot 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.2.1

$9$ に $2$ をかけます。

$f (- 2) = - 1 \cdot 18 + \frac{19}{3}$

ステップ 2.5.1.2.2

$- 1$ に $18$ をかけます。

$f (- 2) = - 18 + \frac{19}{3}$

ステップ 2.5.2

$- 18$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (- 2) = - 18 \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.5.3

$- 18$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (- 2) = \frac{- 18 \cdot 3}{3} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.5.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- 2) = \frac{- 18 \cdot 3 + 19}{3}$

ステップ 2.5.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

$- 18$ に $3$ をかけます。

$f (- 2) = \frac{- 54 + 19}{3}$

ステップ 2.5.5.2

$- 54$ と $19$ をたし算します。

$f (- 2) = \frac{- 35}{3}$

ステップ 2.5.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 2) = - \frac{35}{3}$

ステップ 2.5.7

最終的な答えは $- \frac{35}{3}$ です。

$- \frac{35}{3}$

ステップ 2.6

$x = - 2$ における $y$ 値は $- \frac{35}{3}$ です。

$y = - \frac{35}{3}$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - \frac{9 {(1)}^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = - \frac{9 \cdot 1}{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.8.1.2

$9$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - \frac{9}{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.8.2

$- \frac{9}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (1) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.8.3

$\frac{19}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (1) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.8.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.4.1

$\frac{9}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = - \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.8.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f (1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.8.4.3

$\frac{19}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

ステップ 2.8.4.4

$3$ に $2$ をかけます。

$f (1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19 \cdot 2}{6}$

ステップ 2.8.5

公分母の分子をまとめます。

$f (1) = \frac{- 9 \cdot 3 + 19 \cdot 2}{6}$

ステップ 2.8.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.6.1

$- 9$ に $3$ をかけます。

$f (1) = \frac{- 27 + 19 \cdot 2}{6}$

ステップ 2.8.6.2

$19$ に $2$ をかけます。

$f (1) = \frac{- 27 + 38}{6}$

ステップ 2.8.6.3

$- 27$ と $38$ をたし算します。

$f (1) = \frac{11}{6}$

ステップ 2.8.7

最終的な答えは $\frac{11}{6}$ です。

$\frac{11}{6}$

ステップ 2.9

$x = 1$ における $y$ 値は $\frac{11}{6}$ です。

$y = \frac{11}{6}$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = - \frac{9 {(2)}^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1.1

${(2)}^{2}$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1.1.1

$2$ を $9 {(2)}^{2}$ で因数分解します。

$f (2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.11.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2 (1)} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.11.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2 \cdot 1} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.11.1.1.2.3

式を書き換えます。

$f (2) = - \frac{9 \cdot 2}{1} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.11.1.1.2.4

$9 \cdot 2$ を $1$ で割ります。

$f (2) = - (9 \cdot 2) + \frac{19}{3}$

ステップ 2.11.1.2

$- (9 \cdot 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1.2.1

$9$ に $2$ をかけます。

$f (2) = - 1 \cdot 18 + \frac{19}{3}$

ステップ 2.11.1.2.2

$- 1$ に $18$ をかけます。

$f (2) = - 18 + \frac{19}{3}$

ステップ 2.11.2

$- 18$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (2) = - 18 \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.11.3

$- 18$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (2) = \frac{- 18 \cdot 3}{3} + \frac{19}{3}$

ステップ 2.11.4

公分母の分子をまとめます。

$f (2) = \frac{- 18 \cdot 3 + 19}{3}$

ステップ 2.11.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1

$- 18$ に $3$ をかけます。

$f (2) = \frac{- 54 + 19}{3}$

ステップ 2.11.5.2

$- 54$ と $19$ をたし算します。

$f (2) = \frac{- 35}{3}$

ステップ 2.11.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (2) = - \frac{35}{3}$

ステップ 2.11.7

最終的な答えは $- \frac{35}{3}$ です。

$- \frac{35}{3}$

ステップ 2.12

$x = 2$ における $y$ 値は $- \frac{35}{3}$ です。

$y = - \frac{35}{3}$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - \frac{35}{3} \\ - 1 & \frac{11}{6} \\ 0 & \frac{19}{3} \\ 1 & \frac{11}{6} \\ 2 & - \frac{35}{3} \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(0, \frac{19}{3})$

焦点： $(0, \frac{113}{18})$

対称軸： $x = 0$

準線： $y = \frac{115}{18}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - \frac{35}{3} \\ - 1 & \frac{11}{6} \\ 0 & \frac{19}{3} \\ 1 & \frac{11}{6} \\ 2 & - \frac{35}{3} \end{array}$

ステップ 4

代数学準備 例

代数学準備例