代数学準備例

$9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y + 9 = 0$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y = - 9$

ステップ 1.2

$9 x^{2} - 18 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- 18$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 18$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 9$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 9}{9}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 9$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$d = - 1$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 18$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{324}{36}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$324$ を $36$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 9$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - 9$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $9$ を引きます。

$e = - 9$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ に代入します。

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

ステップ 1.3

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$ を方程式 $9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y = - 9$ の中の $9 x^{2} - 18 x$ に代入します。

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 + 5 y^{2} + 30 y = - 9$

ステップ 1.4

両辺に $9$ を加えて、 $- 9$ を方程式の右辺に移動させます。

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 y^{2} + 30 y = - 9 + 9$

ステップ 1.5

$5 y^{2} + 30 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 5$

$b = 30$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{30}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.2.1

$30$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $30$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 5$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 (5)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{15}{5}$

ステップ 1.5.3.2.2

$15$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$5$ を $15$ で因数分解します。

$d = \frac{5 \cdot 3}{5}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 (1)}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{3}{1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$d = 3$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{30^{2}}{4 \cdot 5}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$30$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{900}{4 \cdot 5}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $5$ をかけます。

$e = 0 - \frac{900}{20}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$900$ を $20$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 45$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $45$ をかけます。

$e = 0 - 45$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ から $45$ を引きます。

$e = - 45$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $5 {(y + 3)}^{2} - 45$ に代入します。

$5 {(y + 3)}^{2} - 45$

ステップ 1.6

$5 {(y + 3)}^{2} - 45$ を方程式 $9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y = - 9$ の中の $5 y^{2} + 30 y$ に代入します。

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} - 45 = - 9 + 9$

ステップ 1.7

両辺に $45$ を加えて、 $- 45$ を方程式の右辺に移動させます。

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} = - 9 + 9 + 45$

ステップ 1.8

$- 9 + 9 + 45$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} = 0 + 45$

ステップ 1.8.2

$0$ と $45$ をたし算します。

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} = 45$

ステップ 1.9

各項を $45$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{45} + \frac{5 {(y + 3)}^{2}}{45} = \frac{45}{45}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{5} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 3$

$b = \sqrt{5}$

$k = - 3$

$h = 1$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(1, - 3)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{9 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{9 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{9 - 5^{1}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{9 - 1 \cdot 5}$

ステップ 5.3.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\sqrt{9 - 5}$

ステップ 5.3.3.2

$9$ から $5$ を引きます。

$\sqrt{4}$

ステップ 5.3.3.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{2}}$

ステップ 5.3.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(1, - 3 + 3)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(1, 0)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(1, - 3 - (3))$

ステップ 6.6

簡約します。

$(1, - 6)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(1, - 3 + 2)$

ステップ 7.3

簡約します。

$(1, - 1)$

ステップ 7.4

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(1, - 3 - (2))$

ステップ 7.6

簡約します。

$(1, - 5)$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(1, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 5)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}}{3}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{9 - {\sqrt{5}}^{2}}}{3}$

ステップ 8.3.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{9 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

ステップ 8.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{9 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

ステップ 8.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}}{3}$

ステップ 8.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}}{3}$

ステップ 8.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{9 - 5^{1}}}{3}$

ステップ 8.3.2.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 5}}{3}$

ステップ 8.3.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{\sqrt{9 - 5}}{3}$

ステップ 8.3.4

$9$ から $5$ を引きます。

$\frac{\sqrt{4}}{3}$

ステップ 8.3.5

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{3}$

ステップ 8.3.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2}{3}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(1, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 5)$

偏心： $\frac{2}{3}$

ステップ 10

代数学準備 例

代数学準備例