代数学準備例

$\sqrt{x} < 10$

ステップ 1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x}}^{2} < 10^{2}$

ステップ 2

不等式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 10^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 10^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 10^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} < 10^{2}$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$x < 10^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$10$ を $2$ 乗します。

$x < 100$

ステップ 3

$\sqrt{x} - 10$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 3.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 100$

$x > 100$

ステップ 5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 5.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\sqrt{- 2} < 10$

ステップ 5.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 5.2

区間 $0 < x < 100$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.2.1

区間 $0 < x < 100$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 5.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\sqrt{2} < 10$

ステップ 5.2.3

左辺 $1.41421356$ は右辺 $10$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 5.3

区間 $x > 100$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.3.1

区間 $x > 100$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 102$

ステップ 5.3.2

$x$ を元の不等式の $102$ で置き換えます。

$\sqrt{102} < 10$

ステップ 5.3.3

左辺 $10.09950493$ は右辺 $10$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 5.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 100$ 真

$x > 100$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < 100$ 真

$x > 100$ 偽

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < 100$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$0 < x < 100$

区間記号：

$(0, 100)$

ステップ 8

代数学準備 例

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