代数学準備例

$64 x^{2} + 25 y^{2} = 1600$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

各項を $1600$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{64 x^{2}}{1600} + \frac{25 y^{2}}{1600} = \frac{1600}{1600}$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 8$

$b = 5$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(8)}^{2} - {(5)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$8$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{64 - {(5)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{64 - 1 \cdot 25}$

ステップ 5.3.3

$- 1$ に $25$ をかけます。

$\sqrt{64 - 25}$

ステップ 5.3.4

$64$ から $25$ を引きます。

$\sqrt{39}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + 8)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(0, 8)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (8))$

ステップ 6.6

簡約します。

$(0, - 8)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 8)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + \sqrt{39})$

ステップ 7.3

簡約します。

$(0, \sqrt{39})$

ステップ 7.4

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (\sqrt{39}))$

ステップ 7.6

簡約します。

$(0, - \sqrt{39})$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{39})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{39})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{39})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{39})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} - {(5)}^{2}}}{8}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$8$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{64 - 5^{2}}}{8}$

ステップ 8.3.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{64 - 1 \cdot 25}}{8}$

ステップ 8.3.3

$- 1$ に $25$ をかけます。

$\frac{\sqrt{64 - 25}}{8}$

ステップ 8.3.4

$64$ から $25$ を引きます。

$\frac{\sqrt{39}}{8}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 8)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{39})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{39})$

偏心： $\frac{\sqrt{39}}{8}$

ステップ 10

代数学準備 例

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