代数学準備例

$f (x) = - 4 {(x + 2)}^{2} - 6$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - 4$

$h = - 2$

$k = - 6$

ステップ 1.2

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 1.3

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 2, - 6)$

ステップ 1.4

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.4.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.4.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot - 4}$

ステップ 1.4.3

簡約します。

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ステップ 1.4.3.1

$4$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{1}{- 16}$

ステップ 1.4.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{16}$

ステップ 1.5

焦点を求めます。

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ステップ 1.5.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.5.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2, - \frac{97}{16})$

ステップ 1.6

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - 2$

ステップ 1.7

準線を求めます。

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ステップ 1.7.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.7.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{95}{16}$

ステップ 1.8

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(- 2, - 6)$

焦点： $(- 2, - \frac{97}{16})$

対称軸： $x = - 2$

準線： $y = - \frac{95}{16}$

方向：下に開

頂点： $(- 2, - 6)$

焦点： $(- 2, - \frac{97}{16})$

対称軸： $x = - 2$

準線： $y = - \frac{95}{16}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = - 4 {(- 3)}^{2} - 16 \cdot - 3 - 22$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3) = - 4 \cdot 9 - 16 \cdot - 3 - 22$

ステップ 2.2.1.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$f (- 3) = - 36 - 16 \cdot - 3 - 22$

ステップ 2.2.1.3

$- 16$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 3) = - 36 + 48 - 22$

ステップ 2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$- 36$ と $48$ をたし算します。

$f (- 3) = 12 - 22$

ステップ 2.2.2.2

$12$ から $22$ を引きます。

$f (- 3) = - 10$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $- 10$ です。

$- 10$

ステップ 2.3

$x = - 3$ における $y$ 値は $- 10$ です。

$y = - 10$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f (- 4) = - 4 {(- 4)}^{2} - 16 \cdot - 4 - 22$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

指数を足して $- 4$ に ${(- 4)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1.1.1

$- 4$ に ${(- 4)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 2.5.1.1.1.1

$- 4$ を $1$ 乗します。

$f (- 4) = (- 4) {(- 4)}^{2} - 16 \cdot - 4 - 22$

ステップ 2.5.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 4) = {(- 4)}^{1 + 2} - 16 \cdot - 4 - 22$

ステップ 2.5.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (- 4) = {(- 4)}^{3} - 16 \cdot - 4 - 22$

ステップ 2.5.1.2

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f (- 4) = - 64 - 16 \cdot - 4 - 22$

ステップ 2.5.1.3

$- 16$ に $- 4$ をかけます。

$f (- 4) = - 64 + 64 - 22$

ステップ 2.5.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$- 64$ と $64$ をたし算します。

$f (- 4) = 0 - 22$

ステップ 2.5.2.2

$0$ から $22$ を引きます。

$f (- 4) = - 22$

ステップ 2.5.3

最終的な答えは $- 22$ です。

$- 22$

ステップ 2.6

$x = - 4$ における $y$ 値は $- 22$ です。

$y = - 22$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = - 4 {(- 1)}^{2} - 16 \cdot - 1 - 22$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

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ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = - 4 \cdot 1 - 16 \cdot - 1 - 22$

ステップ 2.8.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = - 4 - 16 \cdot - 1 - 22$

ステップ 2.8.1.3

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - 4 + 16 - 22$

ステップ 2.8.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.8.2.1

$- 4$ と $16$ をたし算します。

$f (- 1) = 12 - 22$

ステップ 2.8.2.2

$12$ から $22$ を引きます。

$f (- 1) = - 10$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは $- 10$ です。

$- 10$

ステップ 2.9

$x = - 1$ における $y$ 値は $- 10$ です。

$y = - 10$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - 4 {(0)}^{2} - 16 \cdot 0 - 22$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

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ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.11.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - 4 \cdot 0 - 16 \cdot 0 - 22$

ステップ 2.11.1.2

$- 4$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - 16 \cdot 0 - 22$

ステップ 2.11.1.3

$- 16$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 22$

ステップ 2.11.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.11.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 - 22$

ステップ 2.11.2.2

$0$ から $22$ を引きます。

$f (0) = - 22$

ステップ 2.11.3

最終的な答えは $- 22$ です。

$- 22$

ステップ 2.12

$x = 0$ における $y$ 値は $- 22$ です。

$y = - 22$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 22 \\ - 3 & - 10 \\ - 2 & - 6 \\ - 1 & - 10 \\ 0 & - 22 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(- 2, - 6)$

焦点： $(- 2, - \frac{97}{16})$

対称軸： $x = - 2$

準線： $y = - \frac{95}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 22 \\ - 3 & - 10 \\ - 2 & - 6 \\ - 1 & - 10 \\ 0 & - 22 \end{array}$

ステップ 4

代数学準備 例

代数学準備例