代数学準備例

$h (x) = {(1 - 9 x)}^{2}$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

項を並べ替えます。

$y = {(- 9 x + 1)}^{2}$

ステップ 1.2

${(- 9 x + 1)}^{2}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

${(- 9 x + 1)}^{2}$ を $(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$ に書き換えます。

$(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$

ステップ 1.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 9 x + 1) (- 9 x + 1)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$- 9 x (- 9 x + 1) + 1 (- 9 x + 1)$

ステップ 1.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$- 9 x (- 9 x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x + 1)$

ステップ 1.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$- 9 x (- 9 x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

ステップ 1.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.2.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 9 \cdot - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

ステップ 1.2.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$- 9 \cdot - 9 (x \cdot x) - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

ステップ 1.2.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- 9 \cdot - 9 x^{2} - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

ステップ 1.2.1.3.1.3

$- 9$ に $- 9$ をかけます。

$81 x^{2} - 9 x \cdot 1 + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

ステップ 1.2.1.3.1.4

$- 9$ に $1$ をかけます。

$81 x^{2} - 9 x + 1 (- 9 x) + 1 \cdot 1$

ステップ 1.2.1.3.1.5

$- 9 x$ に $1$ をかけます。

$81 x^{2} - 9 x - 9 x + 1 \cdot 1$

ステップ 1.2.1.3.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$81 x^{2} - 9 x - 9 x + 1$

ステップ 1.2.1.3.2

$- 9 x$ から $9 x$ を引きます。

$81 x^{2} - 18 x + 1$

ステップ 1.2.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 81$

$b = - 18$

$c = 1$

ステップ 1.2.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 81}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$- 18$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$2$ を $- 18$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 81}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 81$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (81)}$

ステップ 1.2.4.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 81}$

ステップ 1.2.4.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 9}{81}$

ステップ 1.2.4.2.2

$- 9$ と $81$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$d = \frac{9 (- 1)}{81}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.2.2.1

$9$ を $81$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 9}$

ステップ 1.2.4.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 9}$

ステップ 1.2.4.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{9}$

ステップ 1.2.4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{1}{9}$

ステップ 1.2.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 1 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 81}$

ステップ 1.2.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.1.1

$- 18$ を $2$ 乗します。

$e = 1 - \frac{324}{4 \cdot 81}$

ステップ 1.2.5.2.1.2

$4$ に $81$ をかけます。

$e = 1 - \frac{324}{324}$

ステップ 1.2.5.2.1.3

$324$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$e = 1 - \frac{324}{324}$

ステップ 1.2.5.2.1.3.2

式を書き換えます。

$e = 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.2.5.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e = 1 - 1$

ステップ 1.2.5.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$e = 0$

ステップ 1.2.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$ に代入します。

$81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$

ステップ 1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = 81 {(x - \frac{1}{9})}^{2} + 0$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 81$

$h = \frac{1}{9}$

$k = 0$

ステップ 3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(\frac{1}{9}, 0)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 81}$

ステップ 5.3

$4$ に $81$ をかけます。

$\frac{1}{324}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{1}{9}, \frac{1}{324})$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = \frac{1}{9}$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{1}{324}$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(\frac{1}{9}, 0)$

焦点： $(\frac{1}{9}, \frac{1}{324})$

対称軸： $x = \frac{1}{9}$

準線： $y = - \frac{1}{324}$

ステップ 10

代数学準備 例

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