代数学準備例

$t (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{2} + x + 1}{x + 3}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 3$

ステップ 2

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 3

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 2$

$m = 1$

ステップ 4

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

+

$3$

$x^{2}$

+

$x$

+

$1$

ステップ 5.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				+	$x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 3 x$ の符号をすべて変更します。

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$x^{2}$	-	$3 x$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$x^{2}$	-	$3 x$
						-	$2 x$

ステップ 5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$x^{2}$	-	$3 x$
						-	$2 x$	+	$1$

ステップ 5.7

被除数 $- 2 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x$	-	$2$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$x^{2}$	-	$3 x$
						-	$2 x$	+	$1$

ステップ 5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

					$x$	-	$2$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$x^{2}$	-	$3 x$
						-	$2 x$	+	$1$
						-	$2 x$	-	$6$

ステップ 5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x - 6$ の符号をすべて変更します。

					$x$	-	$2$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$x^{2}$	-	$3 x$
						-	$2 x$	+	$1$
						+	$2 x$	+	$6$

ステップ 5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

					$x$	-	$2$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$x^{2}$	-	$3 x$
						-	$2 x$	+	$1$
						+	$2 x$	+	$6$
								+	$7$

ステップ 5.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x - 2 + \frac{7}{x + 3}$

ステップ 5.12

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = x - 2$

$y = x - 2$

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - 3$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = x - 2$

ステップ 7

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$