代数学準備例

$x = 5 y^{2} - 4 y - 2$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$5 y^{2} - 4 y - 2$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 5$

$b = - 4$

$c = - 2$

ステップ 1.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.1.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 5$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (5)}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{5}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{2}{5}$

ステップ 1.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 5}$

ステップ 1.1.1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1

${(- 4)}^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$e = - 2 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 5}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2

積の法則を $- 1 (4)$ に当てはめます。

$e = - 2 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 5}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = - 2 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 5}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.4

$4^{2}$ に $1$ をかけます。

$e = - 2 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 5}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.5

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 5}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1.6.1

$4$ を $4 \cdot 5$ で因数分解します。

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 (5)}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 5}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.6.3

式を書き換えます。

$e = - 2 - \frac{4}{5}$

ステップ 1.1.1.4.2.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$e = - 2 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

ステップ 1.1.1.4.2.3

$- 2$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$e = \frac{- 2 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

ステップ 1.1.1.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 2 \cdot 5 - 4}{5}$

ステップ 1.1.1.4.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.5.1

$- 2$ に $5$ をかけます。

$e = \frac{- 10 - 4}{5}$

ステップ 1.1.1.4.2.5.2

$- 10$ から $4$ を引きます。

$e = \frac{- 14}{5}$

ステップ 1.1.1.4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{14}{5}$

ステップ 1.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $5 {(y - \frac{2}{5})}^{2} - \frac{14}{5}$ に代入します。

$5 {(y - \frac{2}{5})}^{2} - \frac{14}{5}$

ステップ 1.1.2

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = 5 {(y - \frac{2}{5})}^{2} - \frac{14}{5}$

ステップ 1.2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 5$

$h = - \frac{14}{5}$

$k = \frac{2}{5}$

ステップ 1.3

$a$ の値が正なので、放物線は右に開です。

右に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- \frac{14}{5}, \frac{2}{5})$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 5}$

ステップ 1.5.3

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{20}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{11}{4}, \frac{2}{5})$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = \frac{2}{5}$

ステップ 1.8

準線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = - \frac{57}{20}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(- \frac{14}{5}, \frac{2}{5})$

焦点： $(- \frac{11}{4}, \frac{2}{5})$

対称軸： $y = \frac{2}{5}$

準線： $x = - \frac{57}{20}$

方向：右に開

頂点： $(- \frac{14}{5}, \frac{2}{5})$

焦点： $(- \frac{11}{4}, \frac{2}{5})$

対称軸： $y = \frac{2}{5}$

準線： $x = - \frac{57}{20}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ 値の $- 1.8$ を $f (x) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 - 5 x)}}{5}$ に代入します。この場合、点は $(- 1.7\overline{9}, \frac{2 + \sqrt{5}}{5})$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $- 1.8$ で置換えます。

$f (- 1.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 - 5 \cdot - 1.8)}}{5}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$- 5$ に $- 1.8$ をかけます。

$f (- 1.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 + 9)}}{5}$

ステップ 2.1.2.1.2

$- 14$ と $9$ をたし算します。

$f (- 1.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 \cdot - 5}}{5}$

ステップ 2.1.2.1.3

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$f (- 1.8) = \frac{2 + \sqrt{5}}{5}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\frac{2 + \sqrt{5}}{5}$ です。

$y = \frac{2 + \sqrt{5}}{5}$

ステップ 2.2

$x$ 値の $- 1.8$ を $f (x) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 - 5 x)}}{5}$ に代入します。この場合、点は $(- 1.7\overline{9}, \frac{2 - \sqrt{5}}{5})$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

式の変数 $x$ を $- 1.8$ で置換えます。

$f (- 1.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 - 5 \cdot - 1.8)}}{5}$

ステップ 2.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$- 5$ に $- 1.8$ をかけます。

$f (- 1.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 + 9)}}{5}$

ステップ 2.2.2.1.2

$- 14$ と $9$ をたし算します。

$f (- 1.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 \cdot - 5}}{5}$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$f (- 1.8) = \frac{2 - \sqrt{5}}{5}$

ステップ 2.2.2.2

最終的な答えは $\frac{2 - \sqrt{5}}{5}$ です。

$y = \frac{2 - \sqrt{5}}{5}$

ステップ 2.3

$x$ 値の $- 0.8$ を $f (x) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 - 5 x)}}{5}$ に代入します。この場合、点は $(- 0.7\overline{9}, \frac{2 + \sqrt{10}}{5})$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

式の変数 $x$ を $- 0.8$ で置換えます。

$f (- 0.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 - 5 \cdot - 0.8)}}{5}$

ステップ 2.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$- 5$ に $- 0.8$ をかけます。

$f (- 0.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 + 4)}}{5}$

ステップ 2.3.2.1.2

$- 14$ と $4$ をたし算します。

$f (- 0.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 \cdot - 10}}{5}$

ステップ 2.3.2.1.3

$- 1$ に $- 10$ をかけます。

$f (- 0.8) = \frac{2 + \sqrt{10}}{5}$

ステップ 2.3.2.2

最終的な答えは $\frac{2 + \sqrt{10}}{5}$ です。

$y = \frac{2 + \sqrt{10}}{5}$

ステップ 2.4

$x$ 値の $- 0.8$ を $f (x) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 - 5 x)}}{5}$ に代入します。この場合、点は $(- 0.7\overline{9}, \frac{2 - \sqrt{10}}{5})$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

式の変数 $x$ を $- 0.8$ で置換えます。

$f (- 0.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 - 5 \cdot - 0.8)}}{5}$

ステップ 2.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$- 5$ に $- 0.8$ をかけます。

$f (- 0.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 + 4)}}{5}$

ステップ 2.4.2.1.2

$- 14$ と $4$ をたし算します。

$f (- 0.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 \cdot - 10}}{5}$

ステップ 2.4.2.1.3

$- 1$ に $- 10$ をかけます。

$f (- 0.8) = \frac{2 - \sqrt{10}}{5}$

ステップ 2.4.2.2

最終的な答えは $\frac{2 - \sqrt{10}}{5}$ です。

$y = \frac{2 - \sqrt{10}}{5}$

ステップ 2.5

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{14}{5} & \frac{2}{5} \\ - 1.8 & 0.85 \\ - 1.8 & - 0.05 \\ - 0.8 & 1.03 \\ - 0.8 & - 0.23 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(- \frac{14}{5}, \frac{2}{5})$

焦点： $(- \frac{11}{4}, \frac{2}{5})$

対称軸： $y = \frac{2}{5}$

準線： $x = - \frac{57}{20}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{14}{5} & \frac{2}{5} \\ - 1.8 & 0.85 \\ - 1.8 & - 0.05 \\ - 0.8 & 1.03 \\ - 0.8 & - 0.23 \end{array}$

ステップ 4

代数学準備 例

代数学準備例