代数学準備例

$4 x^{2} - 24 x + 4 y^{2} + 4 y - 107 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $107$ を足します。

$4 x^{2} - 24 x + 4 y^{2} + 4 y = 107$

ステップ 2

方程式の両辺を $4$ で割ります。

$x^{2} - 6 x + y^{2} + y = \frac{107}{4}$

ステップ 3

$x^{2} - 6 x$ の平方完成。

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ステップ 3.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

ステップ 3.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 3.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

ステップ 3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 3}{1}$

ステップ 3.3.2.2.4

$- 3$ を $1$ で割ります。

$d = - 3$

ステップ 3.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{36}{4}$

ステップ 3.4.2.1.3

$36$ を $4$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 9$

ステップ 3.4.2.1.4

$- 1$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - 9$

ステップ 3.4.2.2

$0$ から $9$ を引きます。

$e = - 9$

ステップ 3.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x - 3)}^{2} - 9$ に代入します。

${(x - 3)}^{2} - 9$

ステップ 4

${(x - 3)}^{2} - 9$ を方程式 $x^{2} - 6 x + y^{2} + y = \frac{107}{4}$ の中の $x^{2} - 6 x$ に代入します。

${(x - 3)}^{2} - 9 + y^{2} + y = \frac{107}{4}$

ステップ 5

両辺に $9$ を加えて、 $- 9$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - 3)}^{2} + y^{2} + y = \frac{107}{4} + 9$

ステップ 6

$y^{2} + y$ の平方完成。

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ステップ 6.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

ステップ 6.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 6.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 6.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{2}$

ステップ 6.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 6.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{4}$

ステップ 6.4.2.2

$0$ から $\frac{1}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{4}$

ステップ 6.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ に代入します。

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

ステップ 7

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ を方程式 $x^{2} - 6 x + y^{2} + y = \frac{107}{4}$ の中の $y^{2} + y$ に代入します。

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = \frac{107}{4} + 9$

ステップ 8

両辺に $\frac{1}{4}$ を加えて、 $- \frac{1}{4}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{107}{4} + 9 + \frac{1}{4}$

ステップ 9

$\frac{107}{4} + 9 + \frac{1}{4}$ を簡約します。

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ステップ 9.1

公分母の分子をまとめます。

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 9 + \frac{107 + 1}{4}$

ステップ 9.2

式を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$107$ と $1$ をたし算します。

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 9 + \frac{108}{4}$

ステップ 9.2.2

$108$ を $4$ で割ります。

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 9 + 27$

ステップ 9.2.3

$9$ と $27$ をたし算します。

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 36$

ステップ 10

円の形です。この形を利用して円の中心と半径を決定します。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

ステップ 11

この円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $r$ は円の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$r = 6$

$h = 3$

$k = - \frac{1}{2}$

ステップ 12

円の中心は $(h, k)$ で求められます。

中心： $(3, - \frac{1}{2})$

ステップ 13

これらの値は円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(3, - \frac{1}{2})$

半径： $6$

ステップ 14

代数学準備 例

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