代数学準備例

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 81$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

各項を $81$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{4 x^{2}}{81} + \frac{9 y^{2}}{81} = \frac{81}{81}$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{\frac{81}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = \frac{9}{2}$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

積の法則を $\frac{9}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$9$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3.4

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9}$

ステップ 5.3.5

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9}$

ステップ 5.3.6

$- 9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 5.3.7

$- 9$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}}$

ステップ 5.3.8

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}}$

ステップ 5.3.9

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.9.1

$- 9$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}}$

ステップ 5.3.9.2

$81$ から $36$ を引きます。

$\sqrt{\frac{45}{4}}$

ステップ 5.3.10

$\sqrt{\frac{45}{4}}$ を $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$

ステップ 5.3.11

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.11.1

$45$ を $3^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.11.1.1

$9$ を $45$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}}$

ステップ 5.3.11.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

ステップ 5.3.11.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

ステップ 5.3.12

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.12.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 5.3.12.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 + \frac{9}{2}, 0)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(\frac{9}{2}, 0)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 - (\frac{9}{2}), 0)$

ステップ 6.6

簡約します。

$(- \frac{9}{2}, 0)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 + \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

ステップ 7.3

簡約します。

$(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

ステップ 7.4

楕円の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 - (\frac{3 \sqrt{5}}{2}), 0)$

ステップ 7.6

簡約します。

$(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}}{\frac{9}{2}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.2

積の法則を $\frac{9}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.3

$9$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{81}{4} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.5

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.6

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.7

$- 9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.8

$- 9$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.10

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.10.1

$- 9$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.10.2

$81$ から $36$ を引きます。

$\sqrt{\frac{45}{4}} \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.11

$\sqrt{\frac{45}{4}}$ を $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.12

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.12.1

$45$ を $3^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.12.1.1

$9$ を $45$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.12.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.12.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.13

分母を簡約します。

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ステップ 8.3.13.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}} \cdot \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.13.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.14

項を簡約します。

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ステップ 8.3.14.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.14.1.1

$3$ を $3 \sqrt{5}$ で因数分解します。

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{9}$

ステップ 8.3.14.1.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{3 (3)}$

ステップ 8.3.14.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3 \cdot 3}$

ステップ 8.3.14.1.4

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 8.3.14.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.14.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 8.3.14.2.2

式を書き換えます。

$\sqrt{5} \frac{1}{3}$

ステップ 8.3.14.3

$\sqrt{5}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

偏心： $\frac{\sqrt{5}}{3}$

ステップ 10

代数学準備 例

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