代数学準備例

$5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y - 19 = 0$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $19$ を足します。

$5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$

ステップ 1.2

$5 x^{2} - 27 x$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 5$

$b = - 27$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 27}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$2$ に $5$ をかけます。

$d = \frac{- 27}{10}$

ステップ 1.2.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{27}{10}$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 27)}^{2}}{4 \cdot 5}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 27$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{729}{4 \cdot 5}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $5$ をかけます。

$e = 0 - \frac{729}{20}$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $\frac{729}{20}$ を引きます。

$e = - \frac{729}{20}$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$ に代入します。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$

ステップ 1.3

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$ を方程式 $5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$ の中の $5 x^{2} - 27 x$ に代入します。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20} + 2 y^{2} + 16 y = 19$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{729}{20}$ を加えて、 $- \frac{729}{20}$ を方程式の右辺に移動させます。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 y^{2} + 16 y = 19 + \frac{729}{20}$

ステップ 1.5

$2 y^{2} + 16 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 2$

$b = 16$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{16}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (2)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{8}{2}$

ステップ 1.5.3.2.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{4}{1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$d = 4$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$16$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$e = 0 - \frac{256}{8}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$256$ を $8$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 32$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $32$ をかけます。

$e = 0 - 32$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ から $32$ を引きます。

$e = - 32$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $2 {(y + 4)}^{2} - 32$ に代入します。

$2 {(y + 4)}^{2} - 32$

ステップ 1.6

$2 {(y + 4)}^{2} - 32$ を方程式 $5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$ の中の $2 y^{2} + 16 y$ に代入します。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} - 32 = 19 + \frac{729}{20}$

ステップ 1.7

両辺に $32$ を加えて、 $- 32$ を方程式の右辺に移動させます。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = 19 + \frac{729}{20} + 32$

ステップ 1.8

$19 + \frac{729}{20} + 32$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

公分母を求めます。

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ステップ 1.8.1.1

$19$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19}{1} + \frac{729}{20} + 32$

ステップ 1.8.1.2

$\frac{19}{1}$ に $\frac{20}{20}$ をかけます。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19}{1} \cdot \frac{20}{20} + \frac{729}{20} + 32$

ステップ 1.8.1.3

$\frac{19}{1}$ に $\frac{20}{20}$ をかけます。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + 32$

ステップ 1.8.1.4

$32$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32}{1}$

ステップ 1.8.1.5

$\frac{32}{1}$ に $\frac{20}{20}$ をかけます。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32}{1} \cdot \frac{20}{20}$

ステップ 1.8.1.6

$\frac{32}{1}$ に $\frac{20}{20}$ をかけます。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32 \cdot 20}{20}$

ステップ 1.8.2

公分母の分子をまとめます。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20 + 729 + 32 \cdot 20}{20}$

ステップ 1.8.3

各項を簡約します。

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ステップ 1.8.3.1

$19$ に $20$ をかけます。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{380 + 729 + 32 \cdot 20}{20}$

ステップ 1.8.3.2

$32$ に $20$ をかけます。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{380 + 729 + 640}{20}$

ステップ 1.8.4

数を加えて簡約します。

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ステップ 1.8.4.1

$380$ と $729$ をたし算します。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{1109 + 640}{20}$

ステップ 1.8.4.2

$1109$ と $640$ をたし算します。

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{1749}{20}$

ステップ 1.9

各項を $\frac{1749}{20}$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{5 {(x - \frac{27}{10})}^{2}}{\frac{1749}{20}} + \frac{2 {(y + 4)}^{2}}{\frac{1749}{20}} = \frac{\frac{1749}{20}}{\frac{1749}{20}}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - \frac{27}{10})}^{2}}{\frac{1749}{100}} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{\frac{1749}{40}} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = \frac{\sqrt{17490}}{20}$

$b = \frac{\sqrt{1749}}{10}$

$k = - 4$

$h = \frac{27}{10}$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(\frac{27}{10}, - 4)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

積の法則を $\frac{\sqrt{17490}}{20}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{17490}}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{17490}}^{2}$ を $17490$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{17490}$ を $17490^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{{(17490^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{17490^{1}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{17490}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$20$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{17490}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

ステップ 5.3.4

$17490$ と $400$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$10$ を $17490$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{10 (1749)}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

ステップ 5.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.2.1

$10$ を $400$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

ステップ 5.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

ステップ 5.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

ステップ 5.3.5

積の法則を $\frac{\sqrt{1749}}{10}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{\sqrt{1749}}^{2}}{10^{2}}}$

ステップ 5.3.6

${\sqrt{1749}}^{2}$ を $1749$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1749}$ を $1749^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{(1749^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

ステップ 5.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

ステップ 5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

ステップ 5.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

ステップ 5.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{1}}{10^{2}}}$

ステップ 5.3.6.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{10^{2}}}$

ステップ 5.3.7

$10$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{100}}$

ステップ 5.3.8

$\frac{1749}{40}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100}}$

ステップ 5.3.9

$- \frac{1749}{100}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 5.3.10

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $200$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.3.10.1

$\frac{1749}{40}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{40 \cdot 5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 5.3.10.2

$40$ に $5$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 5.3.10.3

$\frac{1749}{100}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{100 \cdot 2}}$

ステップ 5.3.10.4

$100$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{200}}$

ステップ 5.3.11

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5 - 1749 \cdot 2}{200}}$

ステップ 5.3.12

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.12.1

$1749$ に $5$ をかけます。

$\sqrt{\frac{8745 - 1749 \cdot 2}{200}}$

ステップ 5.3.12.2

$- 1749$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{\frac{8745 - 3498}{200}}$

ステップ 5.3.12.3

$8745$ から $3498$ を引きます。

$\sqrt{\frac{5247}{200}}$

ステップ 5.3.13

$\sqrt{\frac{5247}{200}}$ を $\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$

ステップ 5.3.14

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.14.1

$5247$ を $3^{2} \cdot 583$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.14.1.1

$9$ を $5247$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{9 (583)}}{\sqrt{200}}$

ステップ 5.3.14.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 583}}{\sqrt{200}}$

ステップ 5.3.14.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{200}}$

ステップ 5.3.15

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.15.1

$200$ を $10^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.15.1.1

$100$ を $200$ で因数分解します。

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{100 (2)}}$

ステップ 5.3.15.1.2

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{10^{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.15.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$

ステップ 5.3.16

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.3.17

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.3.17.1

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 5.3.17.2

$\sqrt{2}$ を移動させます。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 5.3.17.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

ステップ 5.3.17.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

ステップ 5.3.17.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.3.17.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 5.3.17.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.17.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.17.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.17.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.17.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.17.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.17.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{1}}$

ステップ 5.3.17.7.5

指数を求めます。

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2}$

ステップ 5.3.18

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.18.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{3 \sqrt{2 \cdot 583}}{10 \cdot 2}$

ステップ 5.3.18.2

$2$ に $583$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{1166}}{10 \cdot 2}$

ステップ 5.3.19

$10$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{1166}}{20}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

ステップ 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(\frac{27}{10}, - 4 - (\frac{\sqrt{17490}}{20}))$

ステップ 6.5

簡約します。

$(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

ステップ 6.6

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

ステップ 7

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

ステップ 7.3

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(\frac{27}{10}, - 4 - (\frac{3 \sqrt{1166}}{20}))$

ステップ 7.5

簡約します。

$(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

ステップ 7.6

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

ステップ 8

離心率を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}}{\frac{\sqrt{17490}}{20}}$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.2

積の法則を $\frac{\sqrt{17490}}{20}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{17490}}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.3

${\sqrt{17490}}^{2}$ を $17490$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{17490}$ を $17490^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{{(17490^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.3.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{17490^{1}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.3.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{17490}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.4

$20$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{17490}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.5

$17490$ と $400$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.5.1

$10$ を $17490$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{10 (1749)}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.5.2.1

$10$ を $400$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.6

積の法則を $\frac{\sqrt{1749}}{10}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{\sqrt{1749}}^{2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.7

${\sqrt{1749}}^{2}$ を $1749$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1749}$ を $1749^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{(1749^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.7.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.7.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{1}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.7.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.8

$10$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{100}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.9

$\frac{1749}{40}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.10

$- \frac{1749}{100}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.11

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $200$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.11.1

$\frac{1749}{40}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{40 \cdot 5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.11.2

$40$ に $5$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.11.3

$\frac{1749}{100}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{100 \cdot 2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.11.4

$100$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.12

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5 - 1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.13

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.13.1

$1749$ に $5$ をかけます。

$\sqrt{\frac{8745 - 1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.13.2

$- 1749$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{\frac{8745 - 3498}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.13.3

$8745$ から $3498$ を引きます。

$\sqrt{\frac{5247}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.14

$\sqrt{\frac{5247}{200}}$ を $\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.15

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.15.1

$5247$ を $3^{2} \cdot 583$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.15.1.1

$9$ を $5247$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{9 (583)}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.15.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 583}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.15.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.16

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.16.1

$200$ を $10^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.16.1.1

$100$ を $200$ で因数分解します。

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{100 (2)}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.16.1.2

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{10^{2} \cdot 2}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.16.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.17

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.17.1

$10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.17.1.1

$10$ を $10 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 (\sqrt{2})} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.17.1.2

$10$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 (\sqrt{2})} \cdot \frac{10 (2)}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.17.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.17.1.4

式を書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.17.2

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{2}{\sqrt{17490}}$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{583} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.17.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{2} \sqrt{17490}}$

ステップ 8.3.17.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{2 \cdot 17490}}$

ステップ 8.3.17.5

$2$ に $17490$ をかけます。

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{34980}}$

ステップ 8.3.18

$\sqrt{583}$ と $\sqrt{34980}$ を単一根にまとめます。

$6 \sqrt{\frac{583}{34980}}$

ステップ 8.3.19

$583$ と $34980$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.19.1

$583$ を $583$ で因数分解します。

$6 \sqrt{\frac{583 (1)}{34980}}$

ステップ 8.3.19.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.19.2.1

$583$ を $34980$ で因数分解します。

$6 \sqrt{\frac{583 \cdot 1}{583 \cdot 60}}$

ステップ 8.3.19.2.2

共通因数を約分します。

$6 \sqrt{\frac{583 \cdot 1}{583 \cdot 60}}$

ステップ 8.3.19.2.3

式を書き換えます。

$6 \sqrt{\frac{1}{60}}$

ステップ 8.3.20

$\sqrt{\frac{1}{60}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{60}}$ に書き換えます。

$6 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{60}}$

ステップ 8.3.21

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$6 \frac{1}{\sqrt{60}}$

ステップ 8.3.22

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.22.1

$60$ を $2^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.22.1.1

$4$ を $60$ で因数分解します。

$6 \frac{1}{\sqrt{4 (15)}}$

ステップ 8.3.22.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$6 \frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}}$

ステップ 8.3.22.2

累乗根の下から項を取り出します。

$6 \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

ステップ 8.3.23

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.23.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.23.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 (3) \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

ステップ 8.3.23.1.2

$2$ を $2 \sqrt{15}$ で因数分解します。

$2 (3) \frac{1}{2 (\sqrt{15})}$

ステップ 8.3.23.1.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 3 \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

ステップ 8.3.23.1.4

式を書き換えます。

$3 \frac{1}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.23.2

$3$ と $\frac{1}{\sqrt{15}}$ をまとめます。

$\frac{3}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.24

$\frac{3}{\sqrt{15}}$ に $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ をかけます。

$\frac{3}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

ステップ 8.3.25

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.25.1

$\frac{3}{\sqrt{15}}$ に $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

ステップ 8.3.25.2

$\sqrt{15}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

ステップ 8.3.25.3

$\sqrt{15}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

ステップ 8.3.25.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.3.25.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

ステップ 8.3.25.6

${\sqrt{15}}^{2}$ を $15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.25.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{15}$ を $15^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.3.25.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.3.25.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.25.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.25.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.25.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{1}}$

ステップ 8.3.25.6.5

指数を求めます。

$\frac{3 \sqrt{15}}{15}$

ステップ 8.3.26

$3$ と $15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.26.1

$3$ を $3 \sqrt{15}$ で因数分解します。

$\frac{3 (\sqrt{15})}{15}$

ステップ 8.3.26.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.26.2.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{3 \sqrt{15}}{3 \cdot 5}$

ステップ 8.3.26.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sqrt{15}}{3 \cdot 5}$

ステップ 8.3.26.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{15}}{5}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(\frac{27}{10}, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

偏心： $\frac{\sqrt{15}}{5}$

ステップ 10

代数学準備 例

代数学準備例