代数学準備例

$5 x^{2} + 2 y^{2} = 100$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

各項を $100$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{5 x^{2}}{100} + \frac{2 y^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{50} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 5 \sqrt{2}$

$b = 2 \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(5 \sqrt{2})}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

式を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

積の法則を $5 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{25 {\sqrt{2}}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{25 \cdot 2^{1} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{25 \cdot 2 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$25$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{50 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.3.2

積の法則を $2 \sqrt{5}$ に当てはめます。

$\sqrt{50 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

ステップ 5.3.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{50 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}$

ステップ 5.3.4

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{50 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

ステップ 5.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 5.3.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 5.3.4.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{1})}$

ステップ 5.3.4.5

指数を求めます。

$\sqrt{50 - (4 \cdot 5)}$

ステップ 5.3.5

$- (4 \cdot 5)$ を掛けます。

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ステップ 5.3.5.1

$4$ に $5$ をかけます。

$\sqrt{50 - 1 \cdot 20}$

ステップ 5.3.5.2

$- 1$ に $20$ をかけます。

$\sqrt{50 - 20}$

ステップ 5.3.6

$50$ から $20$ を引きます。

$\sqrt{30}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + 5 \sqrt{2})$

ステップ 6.3

簡約します。

$(0, 5 \sqrt{2})$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (5 \sqrt{2}))$

ステップ 6.6

簡約します。

$(0, - 5 \sqrt{2})$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 5 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 5 \sqrt{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 5 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 5 \sqrt{2})$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + \sqrt{30})$

ステップ 7.3

簡約します。

$(0, \sqrt{30})$

ステップ 7.4

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (\sqrt{30}))$

ステップ 7.6

簡約します。

$(0, - \sqrt{30})$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{30})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{30})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{30})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{30})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(5 \sqrt{2})}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

積の法則を $5 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{25 {\sqrt{2}}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2^{1} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{25 \cdot 2 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.4

$25$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{50 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.5

積の法則を $2 \sqrt{5}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{50 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{50 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.7

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{50 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5^{1})}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.7.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{50 - (4 \cdot 5)}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.8

$- (4 \cdot 5)$ を掛けます。

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ステップ 8.3.1.8.1

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{\sqrt{50 - 1 \cdot 20}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.8.2

$- 1$ に $20$ をかけます。

$\frac{\sqrt{50 - 20}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.9

$50$ から $20$ を引きます。

$\frac{\sqrt{30}}{5 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.2

$\sqrt{30}$ と $\sqrt{2}$ を単一根にまとめます。

$\frac{\sqrt{\frac{30}{2}}}{5}$

ステップ 8.3.3

$30$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.3.1

$2$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 15}{2}}}{5}$

ステップ 8.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 15}{2 (1)}}}{5}$

ステップ 8.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1}}}{5}$

ステップ 8.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{\frac{15}{1}}}{5}$

ステップ 8.3.3.2.4

$15$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sqrt{15}}{5}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 5 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 5 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{30})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{30})$

偏心： $\frac{\sqrt{15}}{5}$

ステップ 10

代数学準備 例

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